最长下降子序列

文章目录

• 题目
• 解法
• • DP+暴搜
  • • 思路
    • 代码实现
  • 贪心+二分
  • • 思路
    • 代码实现

题目

给出一组数据 nums，求出其最长下降子序列（子序列允许不连续）的长度。（类似于lc的最长递增子序列）

示例：

输入：

6 // 数组元素个数
3 4 3 5 2 1 // 数组

输出：

4 // 最长下降子序列为4321，长度为4

解法

DP+暴搜

思路

DP数组 表示 nums数组 对应下标的元素作为末尾时最长下降子序列的长度，因此将 DP数组中的元素 全部初始化为 1（最起码这个下降子序列里有当前元素）。

从 nums 的第二个元素开始（记为 i），向前搜索所有大于它的元素（记为 j），找到后 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) 。举个例子会更直观：

nums = 3 4 3 5 2 1
dp =   1 1 2 1 3 4⬆形成下降子序列：4,3   

在 i=4, nums[i]=2 时，这个状态转移方程显得尤为重要：

• 从 j=0 开始遍历，第一个大于 2 的元素是 j=1, nums[j]=4 ，dp[i]=dp[j]+1=2，意味着可以形成下降子序列：4,2，长度为 dp[i]=2；
• 第二个大于 2 的元素是 j=2, nums[j]=3 ，dp[i]=dp[j]+1=3，意味着可以形成下降子序列：4,3,2
• 第三个大于 2 的元素是 j=3, nums[j]=5 ，dp[i]=dp[i]=3，意味着形成 5,2 不如形成 4,3,2 更长，所以仍保持原来的下降子序列。

值得注意的是最长下降子序列的长度是 DP数组 中最大的元素而非尾元素，举个例子：

nums = 3 4 3 5 2 3
dp =   1 1 2 1 3 2

因此在构建 DP数组 的同时要记得保存最大元素哦~

代码实现

int main() {int n, res = 1;cin >> n;vector<int> v(n), dp(n, 1);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> v[i];}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (v[j] > v[i]) dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);}res = max(dp[i], res);}cout << res << endl;
}

贪心+二分

思路

dp数组： 用来暂存一个 下降子序列，注意，这里的序列并非真正的最长下降子序列，至于原因下文解释。由于题目要求的是最长下降子序列的长度，并不用返回序列的具体排列，因此dp数组的长度就是本题的答案。

该方法思路分三步：请客、斩首、收下当狗。

1. 请客：遍历 数据数组 中每个元素，和 dp数组 的尾元素比较。
2. 收下当狗：如果比较结果是当前遍历到的元素小于 dp数组 尾元素，则当前元素直接加入 dp数组，成为新的尾元素。
3. 斩首：斩 dp数组 中旧元素的首，当前遍历到的元素作为新元素，自然要先收下当狗，具体做法是：
   • 通过二分法找到 dp数组 中所有小于当前元素中最大的那个，用当前元素替换掉它。举个例子，比如：dp数组元素是 9，5，3，1。当前遍历到的元素是 6，那么dp数组会变成：9，6，3，1。

为什么说 dp数组 暂存的下降子序列只是和真正的最长下降子序列长度相等，两者内容并不一样？

原因就在于第3点——斩首，斩首的目的是 在不改变子序列长度的基础上扩大下降子序列的最小值，用具体例子来说明：

假如给出的数据是 3，4，3，5，2，1。那么 dp数组 的变化会是：

代码实现

int main() {int n;cin >> n;vector<int> v(n), dp;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> v[i];}dp.push_back(v[0]);for (int i = 1; i < n; i++) {if (v[i] < dp.back()) dp.push_back(v[i]);else {int l = 0, r = dp.size()-1;while (l < r) {int m = l + (r - l) / 2;if (v[i] < dp[m])l = m + 1;else r = m;}dp[l] = v[i];}for (int j : dp) {cout << j << " ";}cout << endl;}cout << dp.size() << endl;
}

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