浅谈分部积分公式的使用模式及常见几种类型不定积分公式

文章目录

• 1. 分部积分法
• • 1.1 分部积分公式
  • 1.2 分部积分公式常见的使用模式
• 2. 几种不定积分类型的公式
• • 2.1 基本积分表
  • 2.2 通用公式总结
• 3. 参考文献

1. 分部积分法

1.1 分部积分公式

分部积分法的理论基础是函数乘积的微分公式。
对于两个可微函数$u(x),v(x)$，分部积分公式如下：
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) d x \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -\int v(x)u'(x)dx ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx

1.2 分部积分公式常见的使用模式

（1） 通过对$u(x)$求导降低它的复杂度，而 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)与$v(x)$的类型相似或者复杂程度相当。

记 p n ( x ) p_n(x) pn​(x)为$n$次多项式，则对于形如 ∫ p n ( x ) sin ⁡ α x d x , ∫ p n ( x ) cos ⁡ β x d x \int p_n(x)\sin{\alpha x}dx,\int p_n(x)\cos{\beta x}dx ∫pn​(x)sinαxdx,∫pn​(x)cosβxdx以及 ∫ p n ( x ) e λ x d x \int p_n(x)e^{\lambda x}dx ∫pn​(x)eλxdx之类的不定积分，总是取 p n ( x ) p_n(x) pn​(x)为$u(x)$，而将另一个函数看成 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)，这时$v(x)$是很容易求的。通过分部积分， p n ( x ) p_n(x) pn​(x)的次数随着求导而逐次降低，直到最后成为常数。

（2）通过对$u(x)$求导使得它的类型与$v(x)$的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的形式来处理。

对于形如 ∫ p n ( x ) arcsin ⁡ x d x , ∫ p n ( x ) arctan ⁡ x d x , ∫ p n ( x ) ln ⁡ x d x \int p_n(x)\arcsin xdx,\int p_n(x)\arctan xdx,\int p_n(x)\ln xdx ∫pn​(x)arcsinxdx,∫pn​(x)arctanxdx,∫pn​(x)lnxdx之类的不定积分，总是取 p n ( x ) p_n(x) pn​(x)为 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)，而将另一个函数看成$u(x)$，这时关于 u ′ ( x ) v ( x ) u'(x)v(x) u′(x)v(x)的不定积分就比较容易求出来。

（3）利用有些函数经数次求导后会复原的性质，通过若干次分部积分，使等式右边也产生 ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x \int u(x)v'(x)dx ∫u(x)v′(x)dx的项，只要它的系数不为1，就可以通过解方程的办法求得 ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x \int u(x)v'(x)dx ∫u(x)v′(x)dx。

对于形如 ∫ e λ x sin ⁡ α x d x , ∫ e λ x cos ⁡ β x d x \int e^{\lambda x}\sin{\alpha x}dx,\int e^{\lambda x}\cos{\beta x}dx ∫eλxsinαxdx,∫eλxcosβxdx之类的不定积分，可以取 e λ x e^{\lambda x} eλx与$\sin \alpha x$（或$\cos \beta x$）中的任一个为$u(x)$，另一个为 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)；对于 ∫ x 2 + a 2 d x \int \sqrt{x^2+a^2}dx ∫x2+a2 ​dx之类的不定积分，则可取$u(x)$为 x 2 + a 2 \sqrt{x^2+a^2} x2+a2 ​，而将 v ′ ( x ) v'(x) v′(x)视作1。

（4）对某些形如 f n ( x ) d x f^n(x)dx fn(x)dx的不定积分，利用分部积分法降低幂指数，导出递推关系式。 如 I n = ∫ d x ( x 2 + a 2 ) n I_n = \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n} In​=∫(x2+a2)ndx​.

2. 几种不定积分类型的公式

2.1 基本积分表

∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C ; ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C ; ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ; ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C ; ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C ; ∫ d x x 2 ± a 2 = ln ⁡ ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C ; ∫ d x x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C ; ∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C ; ∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 x a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin ⁡ x a + C ; ∫ x 2 ± a 2 d x = 1 2 ( x x 2 ± a 2 ± a 2 ln ⁡ ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ ) + C . \begin{align*} &\int \tan xdx = -\ln |\cos x|+C;\qquad \int \cot x dx = \ln |\sin x|+C; \\ &\int \sec xdx = \ln|\sec x+\tan x|+C;\qquad \int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|+C;\\ &\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C;\qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln{|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|}+C;\\ &\int \frac{dx}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+C;\qquad \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C;\\ &\int \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+C;\\ &\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2\ln{|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|})+C.\\ \end{align*} ​∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C;∫cotxdx=ln∣sinx∣+C;∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C;∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C;∫a2−x2 ​dx​=arcsinax​+C;∫x2±a2 ​dx​=ln∣x+x2±a2 ​∣+C;∫x2−a2dx​dx=2a1​ln∣x+ax−a​∣+C;∫x2+a2dx​=a1​arctanax​+C;∫a2−x2 ​dx=21​xa2−x2 ​+2a2​arcsinax​+C;∫x2±a2 ​dx=21​(xx2±a2 ​±a2ln∣x+x2±a2 ​∣)+C.​

2.2 通用公式总结

（1） ∫ d x x 2 + 2 ξ x + η 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}} ∫x2+2ξx+η2 ​dx​

解   将 x 2 + 2 ξ x + η 2 x^2+2\xi x+\eta^2 x2+2ξx+η2配方后化为 ( x + ξ ) 2 ± ∣ η 2 − ξ 2 ∣ (x+\xi)^2\pm |\eta^2-\xi^2| (x+ξ)2±∣η2−ξ2∣，把 ∣ η 2 − ξ 2 ∣ |\eta^2-\xi^2| ∣η2−ξ2∣看作 a 2 a^2 a2，便有
∫ d x x 2 + 2 ξ x + η 2 = ∫ d ( x + ξ ) ( x + ξ ) 2 ± ∣ η 2 − ξ 2 ∣ = ln ⁡ ∣ ( x + ξ ) + x 2 + 2 ξ x + η 2 ∣ + C . \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}} = \int \frac{d(x+\xi)}{\sqrt{(x+\xi)^2\pm |\eta^2-\xi^2|}} = \ln{|(x+\xi)+\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}|}+C. ∫x2+2ξx+η2 ​dx​=∫(x+ξ)2±∣η2−ξ2∣ ​d(x+ξ)​=ln∣(x+ξ)+x2+2ξx+η2 ​∣+C.

（2） ∫ ( a x + b ) d x x 2 + 2 ξ x + η 2 \int \frac{(ax+b)dx}{x^2+2\xi x+\eta^2} ∫x2+2ξx+η2(ax+b)dx​

解
∫ ( a x + b ) d x x 2 + 2 ξ x + η 2 = a 2 ∫ d ( x 2 + 2 ξ x + η 2 ) x 2 + 2 ξ x + η 2 + ( b − a ξ ) ∫ d x ( x + ξ ) 2 + η 2 − ξ 2 = { a ln ⁡ ∣ x + ξ ∣ − b − a ξ x + ξ , ∣ ξ ∣ = ∣ η ∣ , a 2 ln ⁡ ∣ x 2 + 2 ξ x + η 2 ∣ + b − a ξ η 2 − ξ 2 arctan ⁡ x + ξ η 2 − ξ 2 + C , ∣ ξ ∣ < ∣ η ∣ , a 2 ln ⁡ ∣ x 2 + 2 ξ x + η 2 ∣ + b − a ξ 2 ξ 2 − η 2 ln ⁡ ∣ x + ξ − ξ 2 − η 2 x + ξ + ξ 2 − η 2 ∣ + C , ∣ ξ ∣ > ∣ η ∣ . \begin{align*} \int \frac{(ax+b)dx}{x^2+2\xi x+\eta^2} &= \frac{a}{2}\int \frac{d(x^2+2\xi x+\eta^2)}{x^2+2\xi x+\eta^2} + (b-a\xi)\int \frac{dx}{(x+\xi)^2+\eta^2-\xi^2}\\ &= \begin{cases} a\ln{|x+\xi|}-\frac{b-a\xi}{x+\xi},\quad &|\xi|=|\eta|,\\ \frac{a}{2}\ln{|x^2+2\xi x+\eta^2|}+\frac{b-a\xi}{\sqrt{\eta^2-\xi^2}}\arctan{\frac{x+\xi}{\eta^2-\xi^2}}+C,\quad &|\xi|<|\eta|,\\ \frac{a}{2}\ln{|x^2+2\xi x+\eta^2|}+\frac{b-a\xi}{2\sqrt{\xi^2-\eta^2}}\ln{|\frac{x+\xi-\sqrt{\xi^2-\eta^2}}{x+\xi+\sqrt{\xi^2-\eta^2}}|}+C,\quad& |\xi|>|\eta|. \end{cases} \end{align*} ∫x2+2ξx+η2(ax+b)dx​​=2a​∫x2+2ξx+η2d(x2+2ξx+η2)​+(b−aξ)∫(x+ξ)2+η2−ξ2dx​=⎩ ⎨ ⎧​aln∣x+ξ∣−x+ξb−aξ​,2a​ln∣x2+2ξx+η2∣+η2−ξ2 ​b−aξ​arctanη2−ξ2x+ξ​+C,2a​ln∣x2+2ξx+η2∣+2ξ2−η2 ​b−aξ​ln∣x+ξ+ξ2−η2 ​x+ξ−ξ2−η2 ​​∣+C,​∣ξ∣=∣η∣,∣ξ∣<∣η∣,∣ξ∣>∣η∣.​​

（3） ∫ ( a x + b ) d x x 2 + 2 ξ x + η 2 \int \frac{(ax+b)dx}{\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}} ∫x2+2ξx+η2 ​(ax+b)dx​
解
∫ ( a x + b ) d x x 2 + 2 ξ x + η 2 = a 2 ∫ d ( x 2 + 2 ξ x + η 2 ) x 2 + 2 ξ x + η 2 + ( b − a ξ ) ∫ d x ( x + ξ ) 2 + η 2 − ξ 2 = a x 2 + 2 ξ x + η 2 + ( b − a ξ ) ln ⁡ ∣ ( x + ξ ) + x 2 + 2 ξ x + η 2 ∣ + C . \begin{align*} \int \frac{(ax+b)dx}{\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}} &= \frac{a}{2}\int \frac{d(x^2+2\xi x+\eta^2)}{\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}} + (b-a\xi)\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\xi)^2+\eta^2-\xi^2}}\\ &= a\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2} + (b-a\xi)\ln|(x+\xi)+\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}| +C. \end{align*} ∫x2+2ξx+η2 ​(ax+b)dx​​=2a​∫x2+2ξx+η2 ​d(x2+2ξx+η2)​+(b−aξ)∫(x+ξ)2+η2−ξ2 ​dx​=ax2+2ξx+η2 ​+(b−aξ)ln∣(x+ξ)+x2+2ξx+η2 ​∣+C.​

（4） ∫ ( a x + b ) x 2 + 2 ξ x + η 2 d x \int (ax+b)\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}dx ∫(ax+b)x2+2ξx+η2 ​dx
解
∫ ( a x + b ) x 2 + 2 ξ x + η 2 d x = a 2 ∫ x 2 + 2 ξ x + η 2 d ( x 2 + 2 ξ x + η 2 ) + ( b − a ξ ) ∫ x 2 + 2 ξ x + η 2 d x = a 3 ( x 2 + 2 ξ x + η 2 ) 3 / 2 + b − a ξ 2 [ ( x + ξ ) x 2 + 2 ξ x + η 2 + ( η 2 − ξ 2 ) ln ⁡ ∣ ( x + ξ ) + x 2 + 2 ξ x + η 2 ∣ ] + C . \begin{align*} \int (ax+b)\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}dx &= \frac{a}{2}\int \sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}d(x^2+2\xi x+\eta^2)+(b-a\xi)\int \sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}dx\\ &= \frac{a}{3}(x^2+2\xi x+\eta^2)^{3/2}+\frac{b-a\xi}{2}[(x+\xi)\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}+(\eta^2-\xi^2)\ln{|(x+\xi)+\sqrt{x^2+2\xi x+\eta^2}|}]+C. \end{align*} ∫(ax+b)x2+2ξx+η2 ​dx​=2a​∫x2+2ξx+η2 ​d(x2+2ξx+η2)+(b−aξ)∫x2+2ξx+η2 ​dx=3a​(x2+2ξx+η2)3/2+2b−aξ​[(x+ξ)x2+2ξx+η2 ​+(η2−ξ2)ln∣(x+ξ)+x2+2ξx+η2 ​∣]+C.​
注：以上四种类型不定积分的推导中使用了前面所列的基本积分公式，读者应该尽量记牢基本积分公式，而对于上述4种类型要掌握其推导过程和想法，不应死记公式。

3. 参考文献

《数学分析》（第三版 上册）陈纪修， 於崇华，金路

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