线性代数(四十一) : 伴随矩阵
本节介绍伴随矩阵的概念，伴随矩阵可用于解超定方程
1 伴随
设X和U是两个欧几里得空间,若A是X到U的线性映射,则A的转置将U映射到X,
为了和一般意义的转置加以区别,我们将欧几里得空间X到U的线性映射A的转置称为
A的伴随,记做：
完整定义如下：
也可以写为：
上式左端表示空间X中的标量积,右端表示U中的标量积
2 伴随的性质
(i) 若A,B均是X到U的线性映射，则：
证明：
由于标量积是线性函数,再根据(1)式有：
(ii)若A为X到U的线性映射,C为U到V的线性映射,则：
证明：
(iii)若A为X到U的一一映射(既是单射也是满射,也就是可逆映射),则：
证明：
根据性质(ii):
又因为I是恒同映射：
得证.
(iv)
证明:
根据标量积的对称性重写(1)式：
3 伴随矩阵
若令：
其中的结构是欧几里得结构,将A和A*看做矩阵,则他们互为对方的伴随矩阵(也可说转置)
下节将介绍伴随矩阵的一个重要应用.
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