线性代数｜定义：向量与向量组

前置知识：

• 【定义】矩阵
• 线性方程组与矩阵的秩

前置定理 1　线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

前置定理 2　矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{b}$ 有解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

1 向量和向量空间

定义 1（向量）　$n$ 个有次序的数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1​,a2​,⋯,an​ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 a i a_i ai​ 称为第 $i$ 个分量。

定义 2　分量全为实数的向量称为 实向量，分量为复数的向量称为 复向量。

$n$ 维向量可以写成一行，称为行向量，也可以写成一列，称为列向量；规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算。因此 $n$ 维行向量和 $n$ 维度列向量总看作是两个不同的向量。

定义 3（向量空间）　$n$ 维向量的全体所组成的集合
R n = { x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ R } \R^n = \{\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T \ | \ x_1,x_2,\cdots,x_n \in \R \} Rn={x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T ∣ x1​,x2​,⋯,xn​∈R}
叫做 $n$ 维向量空间。$n$ 维向量的集合
{ x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ a n x n = b } \{ \boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T \ | \ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n = b\} {x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T ∣ a1​x1​+a2​x2​+⋯an​xn​=b}
叫做 $n$ 维向量空间 R n \R^n Rn 中的 $n-1$ 维超平面。

2 向量组、线性组合

定义 4（向量组）　若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做 向量组。

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。

定义 5（线性组合）　给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1​,k2​,⋯,km​，表达式
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m k1​a1​+k2​a2​+⋯km​am​
称为向量组 $A$ 的一个 线性组合， k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1​,k2​,⋯,km​ 称为这个线性组合的系数。

定义 6（线性表示）　给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 和向量 $\mathbf{b}$，如果存在一组数 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m λ1​,λ2​,⋯,λm​，使
b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ λ m a m \boldsymbol{b} = \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots \lambda_m \boldsymbol{a}_m b=λ1​a1​+λ2​a2​+⋯λm​am​
则向量 $\mathbf{b}$ 是向量组 $A$ 的线性组合，这时称向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

关于线性组合，有定理和证明如下：

定理 1　向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1​,a2​,⋯,am​,b) 的秩。

证明　向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示，等价于方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m a m = b x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{b} x1​a1​+x2​a2​+⋯xm​am​=b 有解。根据前置定理 1 可知，方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m a m = b x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{b} x1​a1​+x2​a2​+⋯xm​am​=b 有解的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1​,a2​,⋯,am​,b) 的秩。得证。

3 向量组等价

定义 7（向量组等价）　设有两个向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 及 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​，若 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称 向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能互相线性表示，则称这两个 向量组等价。

关于向量组等价，有定理和证明如下：

定理 2　向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩等于矩阵 ( A , B ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (A,B)=(a1​,a2​,⋯,am​,b1​,b2​,⋯,bl​) 的秩，即 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。

证明　向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示，等价于存在矩阵 K m × l \boldsymbol{K}_{m \times l} Km×l​ 使 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} (b1​,b2​,⋯,bl​)=(a1​,a2​,⋯,am​)K，即矩阵方程
( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (a1​,a2​,⋯,am​)K=(b1​,b2​,⋯,bl​)
有解。根据前置定理 2 可知，矩阵方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{K} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (a1​,a2​,⋯,am​)K=(b1​,b2​,⋯,bl​) 有解的充分必要条件矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩等于矩阵 ( A , B ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) (A,B)=(a1​,a2​,⋯,am​,b1​,b2​,⋯,bl​) 的秩，即 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。得证。

由定理 2，可得推论和证明如下：

推论　向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 与向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 等价的充分必要条件是
$$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$$
其中 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是向量组 $A$ 和 $B$ 所构成的矩阵。

证明　根据向量组等价的定义，有：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 与向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 等价 $\iff$ 向量组 $A$ 和向量组 $B$ 能互相线性表示。

根据定理 2，有：向量组 $A$ 和向量组 $B$ 能互相线性表示 $\iff$ $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$ 且 $R(\mathbf{B})=R(\mathbf{B},\mathbf{A})$。

因为 $R(\mathbf{A},\mathbf{B})=R(\mathbf{B},\mathbf{A})$，所以有：$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$ 且 $R(\mathbf{B})=R(\mathbf{B},\mathbf{A})$ $\iff$ $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。

综上所述，得证。

定理 3　设向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示，则 R ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) ≤ R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) R(b1​,b2​,⋯,bl​)≤R(a1​,a2​,⋯,am​)。

证明　记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​)， B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) B=(b1​,b2​,⋯,bl​)。根据定理 2，有 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$，而 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$，因此 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})$。得证。

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