线性代数｜向量组的秩

前置定理 1　设向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性无关，而向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b} B:a1​,a2​,⋯,am​,b 线性相关，则向量 $\mathbf{b}$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表达式是唯一的。

证明见 “向量组的线性相关性”。

前置定理 ２　设向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l B:b1​,b2​,⋯,bl​ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性表示，则 R ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) ≤ R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) R(b1​,b2​,⋯,bl​)≤R(a1​,a2​,⋯,am​)。

证明见 “【定义】向量与向量组”。

前置定理 3　向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=m$。

证明见 “向量组的线性相关性”。

定义 1　设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r a1​,a2​,⋯,ar​，满足

• 向量组 A 0 : a 1 , a 2 , ⋯ , a r A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r A0​:a1​,a2​,⋯,ar​ 线性无关，
• 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量的话）都线性相关，

那么称向量组 A 0 A_0 A0​ 是向量组 $A$ 的一个 最大线性无关向量组（简称 最大无关组），那么最大无关组所含向量个数 $r$ 称为 向量组 $A$ 的秩，记作 R A R_A RA​。

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 $0$。

关于向量组与其最大无关组的关系，有定理和证明如下：

定理 1　向量组 $A$ 和它的最大无关组 A 0 A_0 A0​ 是等价的。

证明　记向量组 A 0 : a 1 , a 2 , ⋯ , a r A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r A0​:a1​,a2​,⋯,ar​。

A 0 A_0 A0​ 组是 $A$ 组的一个部分组，因为 $A$ 中的每个向量都能由 $A$ 组表示，所以 A 0 A_0 A0​ 组总能由 $A$ 组线性表示。

根据定义 1 可知，对于向量组 $A$ 中的任一向量 $\mathbf{a}$，$r+1$ 个向量 a 1 , ⋯ , a r , a \boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{a} a1​,⋯,ar​,a 线性相关，而 $r$ 个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r a1​,a2​,⋯,ar​ 线性无关。根据前置定理 1，可知 $\mathbf{a}$ 能由 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r a1​,a2​,⋯,ar​ 线性表示，即 $A$ 组能由 A 0 A_0 A0​ 组线性表示。

定理 1 的逆命题也是成立的，即能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组，于是有定理和证明如下：

定理 2（最大无关组的等价定义）　设向量组 A 0 : a 1 , a 2 , ⋯ , a r A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r A0​:a1​,a2​,⋯,ar​ 是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足

• 向量组 A 0 A_0 A0​ 线性无关；
• 向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 A 0 A_0 A0​ 线性表示，

那么向量组 A 0 A_0 A0​ 便是向量组 $A$ 的一个最大无关组。

证明　根据定义 1，要证明向量组 A 0 A_0 A0​ 便是向量组 $A$ 的一个最大无关组，只需要证明向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量线性相关即可。设 b 1 , b 2 , ⋯ , b r + 1 \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1} b1​,b2​,⋯,br+1​ 是 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量，因为向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 A 0 A_0 A0​ 线性表示，所以这 $r+1$ 个向量均能由向量组 A 0 A_0 A0​ 线性表示，从而根据前置定理 2，有
R ( b 1 , b 2 , ⋯ , b r + 1 ) ≤ R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) = r R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1}) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r) = r R(b1​,b2​,⋯,br+1​)≤R(a1​,a2​,⋯,ar​)=r
根据前置定理 3，可知 $r+1$ 个向量 b 1 , b 2 , ⋯ , b r + 1 \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1} b1​,b2​,⋯,br+1​ 线性相关。得证。

对比向量组的秩的定义和矩阵的秩的定义，有定理和证明如下：

定理 3　矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

证明　设 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​)，$R(\mathbf{A})=r$，并设 $r$ 阶子式 D r ≠ 0 D_r \ne 0 Dr​=0。因为 D r ≠ 0 D_r \ne 0 Dr​=0，所以 D r D_r Dr​ 所在的 $r$ 列构成的 $n\times r$ 矩阵的秩为 $r$，根据前置定理 3 可知，此 $r$ 列线性无关。又因为 $\mathbf{A}$ 中所有 $r+1$ 阶子式均为零，所以 $\mathbf{A}$ 中任意 $r+1$ 个列向量构成的 $n\times (r+1)$ 矩阵的秩 $<r+1$，从而此 $r+1$ 列线性相关。因此 D r D_r Dr​ 所在的 $r$ 列是 $\mathbf{A}$ 的列向量组的一个最大无关组，所以列向量的秩等于 $r$。

类似地，可以证明矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量组的秩也等于 $R(\mathbf{A})$。

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