奇妙的数学 · 完全平方数~总结

说明

定义

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，$729 = 27 × 27$，它是一个平方数。

几何意义

平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成 矩形，可以排成一个正方形。

扩大范围

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍 然是平方数，例如，$\frac{(2 × 2)} {(3 × 3)} = \frac{4}{9} = \frac{2}{3} × \frac{2}{3}$。

平方数因数

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因数，则称 其为无平方数因数的数。

表达式

几何

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 $n^2$。$n^2$等于头 $n$ 个正奇数的和（

$$n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$$ ）。在上图中，从1开始，第
$n$ 个平方数表示为前一个平方数加上第 $n$ 个正奇数，如 $5^2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9$。即第五个平方数$25$ 等于第四个平方数$16$加上第五个正奇数：$9$。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为

$$n^2=2(n-1)^2-(n-2)^2+2$$ 。
例如，
$2×5^2 − 4^2 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6^2$。

连续整数的和

平方数还可以表示成 $n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n$。例如，$4^2 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4$。可 以将其解释为在边长为 $3$ 的矩形上添加宽度为

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