规范变换

真空中的Maxwell方程组

$$\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf B=0\\ \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j+\varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}$$

其中的 $\rho$ 和 $\mathbf j$ 满足电荷守恒方程

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0$$

由于

$$\nabla\cdot\mathbf B=0$$
所以可以引入矢势 $\mathbf A$
$$\bf B=\nabla\times A$$
代入第二个方程得
$$\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial (\nabla\times \mathbf A)}{\partial t}\\\Rightarrow\nabla\times\left(\mathbf E+\dfrac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right)=0$$
所以 $\mathbf E+\dfrac{\partial \mathbf A}{\partial t}$是无旋场，可以引入标势 $\varphi$
$$\mathbf E=-\dfrac{\partial\mathbf A}{\partial t}-\nabla\varphi$$

这样 $\mathbf A$ 和 $\varphi$ 决定了 $\bf E$ 和 $\mathbf B$ ，称为电磁势。
作变换

$$\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\psi\\\varphi'=\varphi-\dfrac{\partial\psi}{\partial t}$$
其中 $\psi$是任意函数。上式称为电磁势的 规范变换。

把电磁势的表达式代入Maxwell方程组的另外两个方程，得

$$\begin{array} a\nabla^2\varphi+\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf A)=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\\nabla^2\mathbf A-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}-\nabla(\nabla\cdot \mathbf A+\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t})=-\mu_0\mathbf j \end{array}$$

如果规定

$$\nabla\cdot \mathbf A+\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=0$$
那么有
$$\begin{array} a\nabla^2\varphi-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\\nabla^2\mathbf A-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}=-\mu_0\mathbf j \end{array}$$

这个条件称为洛仑兹规范，这个结果$\mathbf A$和$\varphi$都具有有源的波动方程的形式.

如果规定

$$\nabla\cdot\mathbf A=0$$
那么有
$$\begin{array} a\nabla^2\varphi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\\nabla^2\mathbf A-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}-\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial\nabla\varphi}{\partial t}=-\mu_0\mathbf j \end{array}$$

这个条件称为库仑规范，这个结果$\varphi$都具有和静电场相同的形式.

---

本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！