整数划分的三种解法

• 1、递归
• 2、完全背包
• 3、dp

题目描述：

对于一个整数n 来说可以表示为n = n₁ + n₂ +
n₃ + … + n_k 其中n₁ >= n₂ >= n₂ … >= 1
求解n 有多少种划分方法

1、递归

如果n 是4， 可以分为：

4 = 4
4 = 3 + 1
4 = 2 + 2
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1

总共5中划分方法，观察上面的等式，可以发现每次都有一个最大的n_i 比如4 = 3 + 1， 最大的n_i = 3
所以可以定义一个函数f(n, m) 表示最大的n_i 不超过m 的划分方法个数
那么最后的答案就是f(n, n)
不是一般性考虑对于任意的f(n, m) 如何转化

1· 如果m > n 由于n_i 不会大于n 所以 f(n, m) = f(n, n)
2· 如果n == m, 当n_i = n 的时候划分集合只有{n} 这时候可以将n_i 单独拿出，f(n, n) = 1 + f(n, n - 1)
3· 当m < n 时， 若n_i = m，可以划分为{m, {n₁, n₂ … n_k}} 这么一种集合，sum{n₁, n₂ … n_k} = n - m这时候f(n, m) = (n - m, m)
若n_i != m，可以划分为{n₁, n₂, … n_k} 集合，这时候f(n, m) = f(n, m - 1)
4· 当n == 1 || m == 1 只有一种方案 {1, 1, 1,…,1}

所以代码为：

int f(int n, int m) {if(n <= 0 || m <= 0) return 0;if(n == 1 || m == 1) return 1;if(m > n) return f(n, n);if(m == n) return f(n, m - 1) + 1;return f(n, m - 1) + f(n - m, m);
}

2、完全背包

观察划分的方式可以发现，这是一种特殊的组合问题，从1 ~ n 中选任意的数使得总和等于n 的方案个数

这样就抽像为经典的完全背包问题

物品为1 ~ n 中间的数，体积为i， 价值为i

定义f(i, j) 表示考虑[1, i] 之间的数，使得总和为j 的方案个数

状态转移：f(i, j) = f(i - 1, j) + f(i - 1, j - i) + f(i - 1, j - 2 * i) + … + f(i - 1, j - k * i)

最后答案就是f(n, n)， 初始化f(0, 0) = 1

int get_back(int n) {int[][] f = new int[n + 1][n + 1];f[0][0] = 1; // 初始化for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1;j <= n; ++j ) for(int k = 0;k * i <= j; ++k)f[i][j] += f[i - 1][j - k * i];return f[n][n];
}

时间复杂度：O(n³) ，可以优化为O(n²)这里就不介绍了

3、dp

除了用背包的思想还可以将划分的集合分类，用dp

1. 划分集合的最小值是1
2. 划分集合最小值不是1

可以定义dp[i][j] 表示 考虑正好有i 个数使得和为j 的方案数
那么如果最小值为1,可以去掉最后一个1，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]

如果最小值不是1 可以将集合所有元素都减去1， 总共可以减去i 个1 所以dp[i][j] = dp[i][j - i]

状态转移：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i][j - i]

因此代码为：

int get_dp(int n) {int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];// 初始化 dp[1][i] 集合只有一种可能 {i}for(int i = 1;i <= n; ++i ) dp[1][i] = 1;for(int i = 2;i <= n; ++i )for(int j = i;j <= n; ++j)dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]  + dp[i - 1][j - i];// 最后统计所有的dp[i][n] 就可以int res = 0;for(int i = 1;i <= n; ++i) res += dp[i][n];return res;}

时间复杂度：O(n²)

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