范数的一般理解

范数

向量范数

1-范数

∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ ||x||_1 = \sum_{i=1}^{N}|x_i| ∣∣x∣∣1​=∑i=1N​∣xi​∣，即向量所有元素绝对值的和

2-范数

$||x||2 = \sqrt{\sum{i=1}^{N}x_i2} $，即向量所有元素平方之和再开根号

$\infty$-范数

∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||_{\infty} = \max_i|x_i| ∣∣x∣∣∞​=maxi​∣xi​∣，即向量x所有元素中绝对值最大的那个

$-\infty$-范数

∣ ∣ x ∣ ∣ − ∞ = min ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||_{-\infty} = \min_i|x_i| ∣∣x∣∣−∞​=mini​∣xi​∣，即向量x所有元素中绝对值最小的那个

p-范数

∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p ||x||_p = (\sum_{i=1}^N{|x_i|^p})^{\frac{1}{p}} ∣∣x∣∣p​=(∑i=1N​∣xi​∣p)p1​，即向量x所有元素的绝对值的p次方之和再开p次方

矩阵范数

1-范数

∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 N ∣ a i , j ∣ ||A||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^N{|a_{i,j}|}} ∣∣A∣∣1​=maxj​∑i=1N​∣ai,j​∣，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值。

2-范数

∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = λ , λ 为 A T A ||A||_1 = \sqrt{\lambda},\lambda为A^TA ∣∣A∣∣1​=λ ​,λ为ATA的最大特征值，谱范数，即A`A矩阵的最大特征值开平方。

$\infty$-范数

∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ i ∑ j = 1 N ∣ a i , j ∣ ||A||_1 = \max_i{\sum_{j=1}^N{|a_{i,j}|}} ∣∣A∣∣1​=maxi​∑j=1N​∣ai,j​∣，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值。

F-范数

∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m ∣ a i , j ∣ 2 ||A||_1 = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m |a_{i,j}|^2} ∣∣A∣∣1​=∑i=1m​∑j=1m​∣ai,j​∣2 ​，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。
参考链接：
https://www.zhihu.com/question/20473040/answer/102907063

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