密码学中的双线性映射

什么是群？

一、定义
定义1 设G定义了一个二元运算+的集合，该运算满足以下性质：

1. 封闭性——如果a和b都属于G，a+b也属于G
2. 结合律——（a+b）+c=a+（b+c）
3. 存在单位元—— a+e=e+a=a
4. 逆元——a+a‘=a’+a=e
   那么G就叫做一个群。记为（G,+）

1.0 阶的定义

1. 元素有限的群称为有限群，其元素个数为群的阶。否则称为无限群。
2. 群中元素的阶：a为群G的一个元，规 a 0 a^0 a0=e单位元，使 a n a^n an=e的最小正整数n为a的阶|a|，如果不存在，a的阶则为无限或者0。

1.1交换群
如果群（G，+）中的运算+还满足交换律，即对G中的任意元素a和b，都有a+b=b+a成立，则称G为一个交换群或Abel群，例如整数关于加法的运算（Z，+）就为交换群。

1.2循环群
在群中定义求幂运算为重复使用群中的运算，如a4=a+a+a+a。规定a0=e为单位元。如果一个群的所有元素都是a的幂ak，则称这个群是一个循环群，这里的k是整数。a也被称为这个群的生成元。

二，群的基本性质

（1）左逆元同时也是右逆元，即对于a，b∈G，b+a=e，则a+b=e。
（2）左单位元同时也是右单位元，即如果对于所有的a∈G有ea=e，则对于所有的a∈G也有ae=e。
（3）单位元是唯一的。
（4）逆元是唯一的

什么双线性映射？

设G1、G2都是阶为p的循环群，p是素数。如果映射e: G1 × G1 → G2 满足以下性质：
1）双线性性。
对于任意a，b∈Zp和R，S∈G1，有e( R a R^a Ra, S b S^b Sb) = e ( R , S ) a e(R, S)^a e(R,S)a b ^b b；

（2）非退化性。
存在R，S∈G1，使得e(R, S) ≠ 1 G 1_G 1G​ 2 _2 2​。这里 1 G 1_G 1G​ 2 _2 2​代表G2群的单位元；

（3）可计算性。
存在有效的算法对任意的R，S∈G1，计算e(R, S)的值。

那么称e是一个双线性映射。
双线性映射可以通过有线域上的超椭圆曲线上的Tate对或Weil对来构造。

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