LQR控制

文章目录

• LQR
• • 1.概念
  • 2.公式推倒
  • 3.示例及流程
  • • 0.写出状态方程
    • 1.写出矩阵A
    • 2.写出矩阵B
    • 3.计算误差
    • 4.计算离散矩阵 A d , B d A_d, B_d Ad​,Bd​
    • 5.求解LQR矩阵，计算得到K
    • 6.计算反馈$u=-Kx$

LQR

1.概念

LQR是线性二次型调节器 Linear Quadratic Regulator。

公式是连续的，实际使用时是离散的。

2.公式推倒

系统方程
x ˙ = A x + B u \ {\dot x} = Ax + Bu\  x˙=Ax+Bu 

离散方法：
$$x(t+1)=x(t)+A\zeta$$
向前欧拉法
$$x(t+1)=(I+A)x(t)$$
向后欧拉法
x ( t + 1 ) = ( I − A ) − 1 x ( t ) x(t+1) = (I-A)^{-1}x(t) x(t+1)=(I−A)−1x(t)
中间欧拉法
x ( t + 1 ) = ( I − A / 2 ) − 1 ( I + A / 2 ) x ( t ) x(t+1) = (I-A/2)^{-1}(I+A/2)x(t) x(t+1)=(I−A/2)−1(I+A/2)x(t)

设计一个线性反馈控制器
$$u=-Kx$$
代价函数
J = x T Q x + u T R u \ J = x^TQx + u^TRu \  J=xTQx+uTRu 
其中$Q$和$R$是权重矩阵，人为设定。
需要求解
$$K$$
求解方式
K = R − 1 B T P K = R^{-1}B^TP K=R−1BTP
离散
K = ( R + B T P B ) − 1 B T P A K = (R + B^TPB)^{-1}B^TPA K=(R+BTPB)−1BTPA
其中
A T P + P A + Q = P B R − 1 B T P A^TP + PA + Q = PBR^{-1}B^TP ATP+PA+Q=PBR−1BTP
离散
P = A T P A − A T P B ( R + B T P B ) − 1 B T P A + Q P = A^TPA - A^TPB(R + B^TPB)^{-1}B^TPA+Q P=ATPA−ATPB(R+BTPB)−1BTPA+Q
其中，P的初值可为Q。
P i n i t = Q P_{init} = Q Pinit​=Q

3.示例及流程

0.写出状态方程

1.写出矩阵A

2.写出矩阵B

3.计算误差

4.计算离散矩阵 A d , B d A_d, B_d Ad​,Bd​

A d = ( I − A / 2 ∗ d t ) − 1 ( I + A / 2 ∗ d t ) A_d = (I-A/2*dt)^{-1}(I+A/2*dt) Ad​=(I−A/2∗dt)−1(I+A/2∗dt)
B d = ( I − A / 2 ∗ d t ) B ∗ d t B_d = (I- A/2*dt)B*dt Bd​=(I−A/2∗dt)B∗dt
式中，$dt$是控制周期，较小，例如0.001，故通常省略 B d B_d Bd​中的$(I-A/2\ast dt)$,得到：
B d = B ∗ d t B_d = B*dt Bd​=B∗dt

5.求解LQR矩阵，计算得到K

P = Q
P n e x t = A T P A − A T P B ( R + B T P B ) − 1 B T P A + Q P_{next} = A^TPA - A^TPB(R + B^TPB)^{-1}B^TPA+Q Pnext​=ATPA−ATPB(R+BTPB)−1BTPA+Q
i f ( P − P n e x t ) < e if(P - P_{next}) < e if(P−Pnext​)<e
$$break$$

6.计算反馈$u=-Kx$

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