目录

一、理解泰勒公式的由来及意义——一元函数的展开式

二、二元函数的展开式

三、多元函数的展开式

四、泰勒展开式的矩阵形式表达

五、哈密顿算子

一、理解泰勒公式的由来及意义——一元函数的展开式

问题：一个简单的三角函数，现在要求当时的函数值。如果不借助计算机，要怎么求这个值呢?

泰勒的思路是：用多项式函数去近似拟合三角函数。

在回归分析中，我们以多项式函数拟合数据集，多项式的“项”越多，对数据集的拟合程度越好，如下图。

 于是这个问题就转换为求解一个多项式函数（“项”的个数越多拟合越好，可以无穷大），让这个多项式函数无限地和三角函数或者其他我们需要的函数等价。

推导过程如下：

我们定义，我们塑造一个多项式函数：，其中为误差项，是和的差值。

令，则。

 我们假设在点左右邻域内，各阶导数都存在（必要条件），则：

....

进而得：

....

将系数代入

化简得：

，误差项可去掉，得，这就是泰勒公式，其中代表的阶导数。

案例1： 

①先求其的阶导数

....

已知：.....

②我们将阶导数代入方程，得

取，得：

案例2： 

①我们知道

②

取，得：

二、二元函数的展开式

由上面我们可知，一元函数在点处的泰勒展开式为：

推广到二元函数，二元函数在点处的泰勒展开式为：

其中，为误差项。

不同的教材对泰勒展开式有不同的写法，但是其原理其实是一样的。

其中，，

三、多元函数的展开式

多元函数在点处的泰勒展开式为：

注意：多元函数中的表示的是第个变量，并不是变量的次方。

同样，展开式也可以这样表示：

其中，即等同于上式中的，以此类推。

四、泰勒展开式的矩阵形式表达

对以上的泰勒展开式我们取前两行，用矩阵的形式表示出来：

其中，，，

注意：通常读作nabla，称为哈密顿算子。

五、哈密顿算子

在数学的世界中，有一个被称为向量分析的领域，其中有一个经常用到的符号。称为哈密顿算子，其定义如下所示。

则上式中的即为时的各变量的偏导组成的向量。

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