CS229《机器学习》笔记 | 多元高斯分布的边缘分布和条件分布

吴恩达的《机器学习（CS229）》Lecture note 9（Part X Factor analysis）中提及了多元高斯分布的边缘分布和条件分布，指出这两者本身亦是高斯分布，但没有给出详细的证明。我自己尝试着推导，但不得要领，直到上网搜索后才恍然大悟。现将该证明过程记录于此，关键在于对协方差矩阵进行LDU分解。

边缘分布

一个多元概率分布的部分元所服从的概率分布即边缘分布，通过将剩余元求和或积分得到。比如，对于一个二元（用X，Y代表其随机变量）概率密度函数（可理解为X∈[x, x+dx]且Y∈[y, y+dy]的概率），X所服从的边缘分布的密度函数通过将变量Y积分得到，即

                                                                                                                                  （1）

代表X∈[x, x+dx]而Y可以是任意值的概率。

条件分布

设A和B是两个事件，条件概率定义为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率

                                                                                                                                            （2）

依旧以上述的二元概率密度为例，根据定义，其条件概率密度即为

                                                                                                                                    （3）

于是，上述的边缘概率密度也可进一步表示为

                                                                                         （4）

多元高斯分布

多元高斯分布是一维情况的推广。在一维时，假设随机变量X服从高斯分布，其概率密度为

                                                                                                                   （5）

记作，其中为随机变量X的期待值，为方差。现推广到n个随机变量，此时，对应的密度函数指数部分为这n个变量的一个二次型（假设各随机变量的期待值均为0），即一个实系数的二次齐次函数

                                                                                              （6）

更一般地，记n个随机变量的期待值为，则对应的密度函数由上式平移得到：

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