为什么分布函数的概率分布为均匀分布？

我先来解决这样一个常见的问题：已知随机变量X的概率分布，求Y=g(X)的概率分布（分布律或者概率密度函数）
这种问题有三种类型（如下图）
我们以随机变量X为连续型，随机变量Y也为连续型为例解一道题
设随机变量X的概率密度为

Y = X 2 Y=X^2 Y=X2，求Y的概率密度 f Y ( y ) f_Y(y) fY​(y)
大体思路：
将 F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) F_Y(y)=P(Y\leq y) FY​(y)=P(Y≤y)中$Y$替换为 X 2 X^2 X2，然后反解出$X$的取值范围（随机变量X，取值x），最终可以利用 F X ( x ) F_X(x) FX​(x)表示出 F Y ( y ) F_Y(y) FY​(y)，而 F X ( x ) F_X(x) FX​(x)由 f X ( x ) f_X(x) fX​(x)积分得到

我们画出 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的图像

我们现在根据上图来求
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) F_Y(y)=P(Y\leq y) FY​(y)=P(Y≤y)
接下来分情况反解X的取值范围

上面的问题解决了，接下来回到本文的主题：为什么分布函数的概率分布为均匀分布？
其实这里的分布函数就是上面提到的 Y = g ( x ) = X 2 Y=g(x)=X^2 Y=g(x)=X2，随机变量X与Y的映射之前是通过其他函数来完成，这里比较特殊一点，采用了分布函数来映射，即 $Y=F(X)$
分布函数图像如下图所示：

2019年数一14题

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