多目标优化——自学笔记

非公开，仅仅为了加深自身对多目标优化的理解和记忆。同时，在日后回顾时更加方便

基础知识理解

• 多目标优化——自学笔记
• 前言
• 一、多目标优化问题(multi-objective optimization problem, MOP)
• 二、帕累托支配关系(Pareto Dominance)
• 三、帕累托最优解(Pareto optimal solution）
• 四、帕累托最优解集
• 总结

前言

这里主要记录了帕累托、支配、最优解集等相关基础理论知识

一、多目标优化问题(multi-objective optimization problem, MOP)

数学描述定义：
F ( x ) = [ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f m ( x ) ] F(x)=[f_1(x),f_2(x),...,f_m(x)] F(x)=[f1​(x),f2​(x),...,fm​(x)] $$s.t.x\in \Omega$$
其中，$F(x)$为需要优化的目标集合， f i ( x ) f_i(x) fi​(x)为集合中的一个目标分量，$m$为集合中需要优化的目标的个数，同时附带一些不等式或等式约束条件。

二、帕累托支配关系(Pareto Dominance)

在最小化问题中, ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , m } , f i ( x 1 ) ≤ f i ( x 2 ) , a n d , ∃ j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , m } , f j ( x 1 ) < f j ( x 2 ) \forall i \in \left\{ {1,2, \cdots ,m} \right\},{f_i}({x_1}) \le {f_i}\left( {{x_2}} \right),and,\exists j \in \left\{ {1,2, \cdots ,m} \right\},{f_j}({x_1}) < {f_j}({x_2}) ∀i∈{1,2,⋯,m},fi​(x1​)≤fi​(x2​),and,∃j∈{1,2,⋯,m},fj​(x1​)<fj​(x2​)理解起来就是，任意一个目标分量， x 1 x_1 x1​的值都不大于 x 2 x_2 x2​，并且在这些目标分量中至少存在一个目标分量 x 1 x_1 x1​的值严格比 x 2 x_2 x2​的值小，记作 x 1 ≺ x 2 {x_1} \prec {x_2} x1​≺x2​

如上图所示，第一、二、三蓝色节点支配与第一个红色节点，第四、五、六则不支配第一个红色节点

三、帕累托最优解(Pareto optimal solution）

当且仅当没有任何一个$x$支配 x ∗ x^* x∗，称 x ∗ x^* x∗为帕累托最优解。在一个多目标优化问题中帕累托最优解的个数不止一个。如上图所示，所有的蓝色节点都是帕累托最优解，因为没有其他的节点支配于蓝色的节点

四、帕累托最优解集

帕累托最优解集中的解彼此之间互不支配，解集中的每一个解都是帕累托最优解。如上图所示，所有蓝色的节点构成了一个多目标优化问题的帕累托最优解集。

总结

到此为止，关于多目标优化中的相关基础理论就总结完毕，接下来针对支配排序算法进行笔记

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