剪绳子（贪心算法与动态规划）

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（n、m都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0]，k[1]，...，k[m]。请问k[0] x k[1] x ... xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2，3，3的三段，此时得到的最大乘积是18。

一、动态规划：

1、想要长度为n的绳子剪掉后的最大乘积，可以从前面比n小的绳子转移而来

2、用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积，也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积，初始化dp[2] = 1。

3、先把绳子剪掉第一段（长度为j），如果只剪掉长度为1的话，对最后的乘积没有什么影响。所以从长度2开始剪。

4、剪了第一段后，剩下（i-j）长度可以剪也可以不剪。如果不剪的话长度的乘积即为j * ( i - j);如果剪的话长度乘积即为j * dp[i-j]。取两者最大值max(j * (i-j) , j * dp[i-j] )。

5、第一段长度j可以取的区间为[2,i),对所有j不同的情况取最大值，因此最终dp[i]的转移方程为

dp[i] = max( dp[i],max(j * ( i - j) , j * dp[i-j] ) )

6、最后返回dp[n]即可。

7、时间复杂度为O(n^2)、空间复杂度为O（n）。

Java代码如下

public static int cuttingRope(int n){int[] dp = new int[n + 1];dp[2] = 1;for(int i = 3; i < n + 1; i++){for(int j = 2; j < i; j++){dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));}}return dp[n];}

二、贪心算法

尽可能的把绳子分成长度为3的小段，这样乘积最大。

2：1 x 1

3：1 x 2 =2

4：2 x 2 =4（2 x 2 > 1 x 3）。

5：3 x 2 =6。

6：3 x 3                                                           余数为0

7：3 x (3+1) = 3 x 4  > 3 x 3 x 1                      余数为1

8：3 x 3 x 2                                                     余数为2

9：3 x 3 x3                                                      余数为0

10：3 x 3 x (3+1)  >  3 x 3 x 3 x 1                   余数为1

11：3 x 3 x 3 x 2                                             余数为2

12：3 x 3 x 3 x 3                                             余数为0

这是一个求极值问题。直接可以由公式求出长度为n的绳子剪成m段的最大乘积。时间复杂度和空间复杂度为O(1)。

Java代码如下：

public static int cuttingRope2(int n){if (n < 2) return 0;if (n == 2) return 1;if (n == 3) return 2;int a = n / 3;int b = n % 3;if (b == 0) return (int)Math.pow(3, a);if (b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;return (int)Math.pow(3, a) * 2;}

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！