数学基础：什么是集合？什么是类？什么是真类？

数学基础：什么是集合？什么是类？什么是真类？

 ------------------------------吕陈君

转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3eefe0890102x32u.html

我接着来讲讲什么是集合、类和真类？这些概念在教科书里也没有完全讲清楚、讲透彻。

在经典数学和逻辑学里，人们一般把集合看成是满足某一性质的对象汇聚的总体。但是，这个直观、朴素的定义存在悖论。

在数理逻辑时代，人们把存在的对象和性质区分开来了。我们可以这么简单地来理解，存在的对象就是康德讲的“自在之物”，它们是没有性质区别的；而性质是主观之物，是人赋予存在对象的一种主观印象或认识。存在对象是客观的，性质是主观的，人可以把不同的性质（主观印象）赋予在存在对象之上。

譬如，“白色”和“马”就是两个不同的性质或概念，但在人的思想里可以把两者赋予结合起来，形成“白马”这个新概念。维特根斯坦也讲过世界的本原不是原子，而是“原子事实”。我们不要说得那么复杂，只强调一点：逻辑上或数学上，存在的对象就是“自在之物”，或“单子”，它们是没有任何性质差别的。

存在对象没有性质之别，但却有大小之分。存在对象的域是不同的，这些存在域就是康托构造的那些超穷基数。而性质、概念，都是定义在这些不同大小的域上的。

我们先讲清楚这些基本的哲学问题后，才可以把集合的定义讲清楚。首先，给出类的定义：

定义1：令Wi为一超穷基数域，f为定义在Wi上的一个性质，那么所有符合（满足）f的对象u构成一个“类”。

一般的，在数学上，我们必须承认的一个超穷基数域就是所有自然数构成的域W：1，2，…，n，……。这是整个数学的起点。

但请注意，定义1定义的是类，而不是集合。这是为什么呢？

因为，我们定义了一个类C后，那么我们还有几个问题需要判定：

1，是不是C中的所有对象u都具有性质f？特别是，C本身具有性质f吗？（同一性判定）

2，是不是C中的所有对象u，都有f(u)或者﹁f(u)成立吗？（完备性判定）

3，是不是C中的所有对象u，都有f(u)和﹁f(u)不能同时成立吗？（一致性判定）

这三个判定，其实就是逻辑学中的同一律、排中律和矛盾律。问题在于：世界上、数学上，其实很多事情都无法同时满足这三条基本的逻辑规律。

譬如，我们把所有自然数（有穷数）汇聚成一个类W时，W中就会莫名其妙地出现很多不可判定的对象。譬如，W中会出现很多“非自然数”或“非标准数”，也就是非标准分析里出现的“W的非有穷元素”；另外，W的很多子集合也是ZFC不可定义的。可以这么直观地来理解：当我们把所有有穷数汇聚成一个总体时，我们就无法保证这个总体中只包含这些标准的有穷数，可能还会多出来一些意想不到的“非标准数”。

“同一性判定”是一个新概念，我稍稍解释一下。打个比方来说，它的直观涵义就是：尽管现在我们看到的每一只天鹅都是白色的，但我们不能确保以后见到的每一只天鹅都是白色的。这就相当于不完全归纳中还未出现反例的情况。

用模态逻辑的可能世界语义学来说，就是指“事实真”和“必然真”：在现实世界里，若C中每一个f(u)都成立，这就是事实真；只有在所有可能世界里，若C中每一个f(u)都成立，这才是必然真。一个命题为真是指它事实真，而判定一个命题为真是指它必然真。

用朱梧槚教授的话来说，就是：“任一f(u)都成立”，但并不等价于“所有f(u)都成立”。他把“任一”和“所有”这两个量词区分开了。

用P.伯尔奈斯的话来说，可能讲得更清楚：当我们在所采用的系统里推导出一个公式“对任何x，A(x)”，我们也并不能因之知道A(x)是否真地对所有的x都成立，除非这个系统的一致性证明已经给出。

所以，涉及到无穷对象的汇聚类，情况就会变得非常复杂。大家不要想得太简单了。

现在的公理集合论还有一个重要的问题没讲清楚。它认为，类简单地分成集合和真类。这个定义没有区分到更复杂、更深层的情况。

在现有的公理集合论里，人们把那些违反一致性判定（即出现矛盾）的类称为真类，不是真类的类就是集合。难道这有哪里不对吗？

这里的问题就是：由于哥德尔两个不完备性定理，情况就变得复杂起来了。（ZFC蕴含算术公理，所以哥德尔不完全性定理适用于公理集合论）

我们可以这样来提一个问题：对一个类C，如果C不是一真类，那对C中的所有对象u，上述三个判定是否都成立呢？

显然，如果根据哥德尔不完备性定理，上述三个判定都是不成立的。

由第二不完备性定理，假设C是一致的，C不能自己证明一致性，所以，我们就无法判定C和其任一对象u是否都具有性质f。

由第一不完备性定理，假设C是完备的，那C 必是不一致性的，这又跟已知不符。

说得再简单一点。如果类C不是一真类，那其一致性就是无法判定的，但还存在着两种不同的情况：

1，      C是完备性的；

2，      C是不完备性的。

对第一种情况，我们就定义为“集合”，对第二种情况，有些文献上就定义为“似集合”。

所以，当类C不是一真类时，还可以分为“集合”和“似集合”这两种情况。现在的公理集合论还没有把“集合”和“似集合”这两个概念严格地区分开来。

说白了，对一个类C，如果C满足排中律，那它就是一个集合；如果C不满足矛盾律，那它就是一个真类（即通过公理推导出矛盾的地方）。这是符合我们的逻辑经验的。

但由于哥德尔不完备性定理的限制，集合和真类并不是两个相补的概念。情况就变得复杂起来了。但数学的好玩也在于此。这是我们必须要讲清楚的。

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