应用FT性质求解频谱

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第七次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第七次作业

01 第七次作业

一、习题简介

  在第七次作业中， 包括了几道小的练习题， 主要是来练习傅里叶变换的微分、积分、卷积 等性质的。 第一小题已经另外视频进行讨论了。  下面就其中五个数学表达式对应的信号， 以及三个波形信号的频谱的求解， 分别进行讨论。

二、习题求解

1、习题（2）

  对于第二小题，它包括有尺度，时移等基本操作， 同时还包括有乘以自变量 t 的操作。 需要使用到傅里叶变换频域微分定理。  时域乘以自变量，  频域进行微分， 并乘以 j。 考虑到时移操作，    利用时移定理，   在频谱中增加一个相位因子。 下面在考虑尺度运算， 频谱出现幅值变化，  所有 omega 编程 二分之一 omega。  进行化简。   此时，前面的多项式还需要进一步修正。 如果将多项式改成 t 减去 2，  则需要在 2t 加一的基础上， 除以 2， 再减去二分之五。 这样原来的乘积，  就会变成两项。  前面一项的频谱， 就是刚刚求出的结果， 再除以2。 后面一项的频谱，  则利用尺度定理， 和时移定理得到对应的频谱。 将这两项合在一起，  便可以得到最终的答案了。     在这里得到了表达式的傅里叶变换。 其中应用到频域微分定理。

2、习题（3）

  第三小题涉及到对信号的两种操作， 微分，以及除以自变量 t。  对于微分操作来说， 对应频谱乘以 j omega。  对除以自变量的操作， 需要使用到频域积分定理。  频域积分， 对应时域除以 负j t。     后面有两项，  后面一项对 delta t 的傅里叶变换， 结果是常量。      将 j 移到其它各项，   这样便可以得到信号除以自变量对应的频谱变化。 下面再结合第一步的微分操作， 将第一部分结果代入这个公式。  把 f(t) 使用其导数替代。   频谱也进行改变。   经过整理，最终得到求解结果。   这是第三小题的结果。  

3、习题（4）

  第四小题的信号是一个高斯条幅信号。 高斯信号的表达式已经给出了。 根据高斯信号的频谱公式， 可以写出高斯包络线的频谱。   下面需要考虑与 cosine 2 Pi t 的调幅过程。   时域乘以 cosine 信号，    对应的频谱出现了左右搬移。 幅值降低一半。   这是最终的结果。

4、习题（5）

 第五小题的确比较复杂，涉及到指数信号， 正弦调制以及乘以时间 t 等操作。 先从这个单边指数信号开始， 它对应的频谱大家比较熟悉了。  再考虑乘以 t，  这涉及到频域微分， 微分之后， 对应的频谱为 j omega 加 2 的平方分之一。  下面在考虑乘以 sine 4 t 的操作。    这涉及到频谱的搬移。   频谱左右搬移并相减。 前面乘以 二分之一 j。 最后将公式进行化简。 这个结果的确复杂了些。 这里使用了 Python 中的符号推理软件帮助进行化简。 最终得到了第五小的答案。

5、习题（6）

  第六小题给出了信号的波形。 它比较容易使用微分、积分定理进行求解。 这是微分信号的波形。 写出方波信号的频谱。 左右两个冲激信号的频谱。  将它们加在一起便是微分信号的频谱。  化简频谱表达式。   然后再根据积分定理， 信号的频谱等于其微分信号频谱，除以 j omega。 请注意，由于微分信号的面积为 0。 所以积分之后，信号频谱中不包含有 delta omega 。  将前面微分频谱代入 便可以得到这个锯齿信号的频谱了。  这是第六小题的答案。

6、习题（7）

  第七小题也是给定了信号波形，  它可以看成一个方波信号 与sine信号的乘积。 结果的频谱应该是方波的频谱，进行左右搬移。  因为这是正弦调制， 左右搬移频谱之间是相减的关系。   这是经过频谱搬移化简后的结果。  这里给出了第七小题的答案。

7、习题（8）

  第八小题对应的是一个 sinc 函数， 进行复指数调制， 以及乘以时间 t 等两项操作。  对于 sinc 信号， 它的频谱是一个矩形方波。  根据傅里叶变换对偶特性，可以写出频谱表达式。   下面考虑到时域乘以 t，   对应频域进行微分， 方波频谱微分之后，变成两个冲激信号。  最后考虑复指数调制。 这将会引起频谱的平移，  频谱往右平移 omega 0。  由于信号中还包括一个常量。 将频谱乘以这个常量，便是最后的答案了。 

8、习题（9）

  第九小题是一个左边指数信号，  可以直接利用傅里叶变换公式进行求解。 对积分公式进行化简， 求取定积分的数值。  这个计算过程还算比较容易。 最终化简得到题目的答案。

※ 总  结 ※

  本文讨论了第七次作业中的信号频谱求解问题。 利用傅里叶变换的性质可以大大简化求解过程。

■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第七次作业
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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 作业习题内容
• 图1.2.1 第二小题的答案
• 图1.2.2 第三小题的结果
• 图1.2.3 调幅信号的频谱

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