矩阵求导术（上、下）
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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示向量，大写字母X表示矩阵。
首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。
为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系： ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系： ，这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，，即是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。
然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：
加减法：；矩阵乘法： ；转置：；迹：。
逆：。此式可在两侧求微分来证明。
行列式： ，其中表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法：，表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
逐元素函数： ，是逐元素运算的标量函数。
我们试图利用矩阵导数与微分的联系 ，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：
标量套上迹：
转置：。
线性：。
矩阵乘法交换：。两侧都等于。
矩阵乘法/逐元素乘法交换：。两侧都等于。
观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？在微积分中有标量求导的链式法则，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。
例1：，求。
解：先使用矩阵乘法法则求微分： ，再套上迹并做交换：，对照导数与微分的联系，得到。
注意：这里不能用，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。
例2【线性回归】：。
解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：。对照导数与微分的联系，得到。
例3【多元logistic回归】：，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量；，其中表示逐元素求指数，代表全1向量。
解1：首先将softmax函数代入并写成，这里要注意逐元素log满足等式，以及满足。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：。再套上迹并做交换，注意可化简，这是根据等式，故。对照导数与微分的联系，得到。
解2：定义，则 ，先如上求出 ，再利用复合法则：，得到。
例4【方差的最大似然估计】：样本，其中是对称正定矩阵，求方差的最大似然估计。写成数学式是：，求的零点。
解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是，第二项是。再给第二项套上迹做交换：，其中定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有，其零点即的最大似然估计为。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。
例5【二层神经网络】：，求。其中是除一个元素为1外其它元素为0的向量，同例3，是逐元素sigmoid函数。
解：定义，，，则。在例3中已求出 。使用复合法则，注意此处, 都是变量：，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到，从第二项得到。接下来求，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：，得到。为求，再用一次复合法则：，得到。
使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。
首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵对矩阵的导数应包含所有mnpq个偏导数，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量对向量的导数 ；再定义矩阵的（按列优先）向量化，并定义矩阵F对矩阵X的导数。导数与微分有联系。几点说明如下：
按此定义，标量对矩阵的导数是向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号表示上篇定义的矩阵，则有。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。
，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新，满足。
在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于中每个子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。
然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：
线性：。
矩阵乘法：，其中表示Kronecker积，与的Kronecker积是。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
转置：，A是矩阵，其中是交换矩阵(commutation matrix)。
逐元素乘法：，其中是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至左侧，即能得到导数。
再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？从导数与微分的联系入手， ，可以推出链式法则。
和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：
。
。
。可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有, ，用链式法则得到。
。
，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。
接下来演示一些算例。
例1：，是矩阵，求。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：，对照导数与微分的联系得到。
特例：如果退化为向量， ，则根据向量的导数与微分的关系 ，得到 。
例2： ，是矩阵，求和。
解：使用上篇中的技术可求得 。为求，先求微分：，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧，对照导数与微分的联系，得到，注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为。
例3：，是，是，是矩阵，为逐元素函数，求。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：，再用逐元素乘法的技巧：，再用矩阵乘法的技巧：，对照导数与微分的联系得到。
例4【一元logistic回归】：
。其中是取值0或1的标量，,是向量。
解：使用上篇中的技术可求得，其中为sigmoid函数。为求，先求微分： ，其中为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到。
推广：样本, , ，，求和。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵，向量，将l写成矩阵形式，进而可以求得。
例5【多元logistic回归】：，求和 。
解：上篇例3中已求得。为求，先求微分：定义，，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 ，第二项中，故有，其中 ，代入有，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到。
最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是。
参考资料：
张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
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