量化交易——期货期权
一、基本概念
期货期权
期权是赋予拥有者在未来某一时刻买入或卖出一定标的物的权利。又可以具体分为看涨期权（又称为认购期权），是指期权的购买者拥有在期权合约有效期间内按执行价格买进一定数量标的物的权利。以及与之相对的看跌期权（认沽期权）类似地指卖出标的物的权利。我们这里考虑的期货期权，则会使期权持有者拥有期货的一种头寸。
期货期权特征
期货期权同样可分为看涨和看跌两种，大多数为持有者剋以在合约有效期间内随时行驶期权的美式期权。看涨期权的实际收益为期权行使时期货价格减去执行价格；看跌期权的实际收益为执行价格减去行使时期货价格。
到期月
期货期权失意标的期货到期月而不是期权到期月来识别的，即标的期货交付日期的前几天。
二、欧式期货期权及其定价
欧式期货期权即在某一特定时间点行使权利的一种合约。具有执行价格的欧式期权收益为
，欧式期货期权收益为
。其中
为期权到期时资产和期货的即期价格。如果期货和期权同时到期，此时这两个期权等价，即
。
大多数市场交易的期权为美式期权，但是上述结果仍可以用来对欧式即期期权定价。首先，我们先了解影响期权价格的因素：当前标的物价格、执行价格、期权期限等。接下来我们考虑期限对期权价格的影响，当期限有所增加时，美式看涨期权与看跌期权价格都会增加。美式期权的特性决定了期限较短的期权在行使时，较长期限的期权也可以被行使，因此，长期期限权的价格至少不会低于短期期限权的价格。
看跌-看涨期权评价公式关系式
考虑具有相同执行价格 与期限
的两个欧式看涨和欧式看跌期货期权，构造交易组合：
组合1：一份欧式看涨期货期权及数量为 的现金
组合2：一份欧式看跌期货期权，一份期货合约长头寸及数量为 的现金（
为 期货价格）
不难发现，在 时刻组合1的价值为
,
为到期时期货价格
组合2中看跌期权收益为 ，期货提供的收益为
，因此其价值为
因为以上组合在 时刻的价格相同，并且欧式期权不能提前被行使，所以这两个交易组合在今天的价值应该相同。组合1在今天的价值为
式中
为看涨期货期权的价格。按照市场定价过程保证在组合2中期货在今天的价格为0，所以组合2今天的价值为
式中
为看跌期货期权的价格。综上可得出看跌-看涨期货期权平价公式
，在期货合约和期权合约同时到期时成立。
期货期权的下限
由看跌-看涨期权平价关系式给出欧式看涨和看跌期权的下限
由于美式期权可以在任何时刻被执行，因此可得如下关系式
因此在利率为正的条件下，美式期权的下限一定会高于欧式期权的下限，因为美式期权总有被提前行使的可能性。
三、美式期权及其定价
二叉树
二叉树是期权定价领域常见的工具，是指代表在期权期限内可能出现的股票价格变动路径图形，以股票期权为例。这里股票假定为服从随机漫步，即每一步股票价格具有一定概率向上或向下移动。在极限状态或步长足够小时，股票价格区域对数正态分布。例如一个简单的单步二叉树模型，假设当前价格以及未来两个可能价格已知的情况下，我们可以构造一个股票和期权的组合，并使这一组合在一定时间后的价值没有不确定性。美式期权定价的过程从树的末尾出发以倒退的形式演算到树的起点，在每一处节点上均要检验提前形式期权是否为最优。在树的最后节点上期权的价格等于欧式期权的价格，之前的任意节点期权价格为 ,
为提前行使期权的权益。
期货期权和股票期权的关键区别在于进入期货合约时不必付费。
Bjerksund-Stendsland近似算法
该算法首先将到期日起的时间分为两部分，每一部分都有自己平坦的行使边界。相比之下，这种方法效率更高、速度更快。它将使用一种近似算法来精确地累加二元正态分布。
最小二乘蒙特卡洛模拟法定价
通常，当采用蒙特卡罗时，一般都是从前往后求解。但是，由于由于在每一个节点地方，如果不行权就没有办法计算出此时继续持有期权的利润值，因此正向的求解在美式期权定价过程中不适用。但LSM模型的提出使得蒙特卡洛方法可以适用于美式期权。美式期权的价格就是在每个节点上现金流的折现值，而这里的最大化原则是由T时刻全部可能事件决定的期权的最佳行权时刻来确定。LSM模型按照模拟出多条标的资产的价格路径，进而逐步靠近所研宄期权最合适的停止点，然后通过计算求解每一个时刻点处的现金流的步骤求解。细节上LSM模型运用最小二乘法来估计 到下一时刻点
的条件期望函数，并且使用Laguerre多项式来消除变量之间的相关性，进而确保所有变量之间的正交关系。
除上述三种定价模型外还有许多其他的定价理论，在这里不一一展开。
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