差分相关检测技术

• 1 差分相关检测原理
• • 1.1 简介
  • 1.2 原理
• 2 差分相关检测性能
• • 2.1 性能
  • 2.2 扩展

1 差分相关检测原理

1.1 简介

根据VDES初步建议书，ASM信号采用交替$\pi$/4-QPSK调制方式，即信息序列的第一个符号映射到星座图中位于象限中的星座点，第二个符号映射到星座图中位于坐标轴上的星座点，其后所有的符号按此规律依次映射到星座图中相应的星座点。交替$\pi$/4-QPSK信号的星座图如图所示：

相较于常规的QPSK调制方式，采用交替$\pi$/4-QPSK调制方式，在相邻码元之间信号相位的跳变量只有$\pm 3\pi$/4和$\pm \pi$/4，而不会出现$\pm \pi$的相位跳变。可以减小相移键控（PSK）信号在码元转换时刻的相位跳变量，即降低该信号受带限后所产生的包络起伏影响。

1.2 原理

VDES中的ASM-SAT数据帧的训练序列为“010001010010010000000110011”，是一组27个比特长度的差分检测的最佳自相关序列。

差分相关检测原理如图所示：

其信号模型可以表示为：
r ( k ) = s ( k ) e j ( 2 π f d k T s + φ ) r(k)=s(k)e^{j(2 \pi f_{d}kT_{s}+ \varphi)} r(k)=s(k)ej(2πfd​kTs​+φ)

其中，$r(k)$代表接收机的接收信号，$s(k)$代表发射机的发送信号， f d f_{d} fd​、$\phi$分别代表通信信道引入的载波频偏和载波初相， T s T_{s} Ts​代表采样周期。

假设已知训练序列对应的原始调制序列（即本地同步序列）为$c(k)$， k = 1 , 2 , … , L 0 k=1,2, \ldots ,L_{0} k=1,2,…,L0​（ L 0 L_{0} L0​为该调制序列的长度），将本地同步序列$c(k)$和经过一个符号周期 T b T_{b} Tb​延时并取共轭的 c ∗ ( k − 1 ) c^{\ast }(k-1) c∗(k−1)（ ∗ ^{\ast } ∗表示取共轭）相乘，得到本地同步序列的差分值 c ( k ) c ∗ ( k − 1 ) c(k)c^{\ast }(k-1) c(k)c∗(k−1)。对接收信号$r(k)$做差分处理，得接收信号的差分值：
r ( k ) r ∗ ( k − 1 ) = [ s ( k ) e j ( 2 π f d k T s + φ ) ] [ s ∗ ( k − 1 ) e − j ( 2 π f d ( k − 1 ) T s + φ ) ] = s ( k ) s ∗ ( k − 1 ) e j ( 2 π f d T s ) r(k)r^{\ast }(k-1)=\left [ s(k)e^{j(2\pi f_{d}kT_{s}+\varphi )} \right ]\left [ s^{\ast }(k-1)e^{-j(2\pi f_{d}(k-1)T_{s}+\varphi )} \right ] \\ =s(k)s^{\ast }(k-1)e^{j(2\pi f_{d}T_{s})} r(k)r∗(k−1)=[s(k)ej(2πfd​kTs​+φ)][s∗(k−1)e−j(2πfd​(k−1)Ts​+φ)]=s(k)s∗(k−1)ej(2πfd​Ts​)

由式可知，接收信号经过差分处理后，通信信道所引入的载波初相$\phi$被抵消、载波频偏则转换为固定相位，以去除载波频偏对帧头检测的影响。对接收信号的差分值和本地同步序列的差分值做互相处理，得到差分检测的相关值：
γ ( j ) = ∑ k = 1 L 0 − j [ r ( k + j ) r ∗ ( k − 1 + j ) ] [ c ( k ) c ∗ ( k − 1 ) ] ∗ = ∑ k = 1 L 0 − j [ s ( k + j ) c ∗ ( k ) s ∗ ( k − 1 + j ) c ( k − 1 ) ] e j ( 2 π f d T s ) \gamma (j)=\sum_{k=1}^{L_{0}-j}\left [ r(k+j)r^{\ast }(k-1+j) \right ]\left [ c(k)c^{\ast }(k-1) \right ]^{\ast } \\ =\sum_{k=1}^{L_{0}-j}\left [ s(k+j)c^{\ast }(k)s^{\ast }(k-1+j)c(k-1) \right ]e^{j(2\pi f_{d}T_{s})} γ(j)=k=1∑L0​−j​[r(k+j)r∗(k−1+j)][c(k)c∗(k−1)]∗=k=1∑L0​−j​[s(k+j)c∗(k)s∗(k−1+j)c(k−1)]ej(2πfd​Ts​)

其中， L 0 = 27 L_{0}=27 L0​=27代表本地同步序列的长度，即训练序列的符号长度。利用PSK数据符号满足 c ( k ) c ∗ ( k ) = 1 c(k)c^{\ast }(k)=1 c(k)c∗(k)=1的性质，可以去除调制信息的影响，在无噪声条件下实现正确检测时的差分相关值为：
γ ( j ) m a x = 26 e j 2 π f d T s \gamma (j)_{max}=26e^{j2\pi f_{d}T_{s}} γ(j)max​=26ej2πfd​Ts​

2 差分相关检测性能

2.1 性能

帧头序列经过差分相关处理并取平方所得到的结果如图所示（ASM信号的符号速率为9.6ksps，（），则采样速率为9.6kHz，设定载波频偏值 f d = 2 k H z f_{d}=2kHz fd​=2kHz。）：

相应的Matlab代码如下：
Rs = 9.6e3;                 %符号速率
fs = Rs;                 	%采样速率
Ts = 1/fs;                  %采样周期
L = 27;                     %本地同步序列的长度（训练序列：27个符号）   sync_word = [0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1];	%训练序列：差分检测的最佳自相关序列(ASM-SAT)   
sync_word = [sync_word; sync_word];
sync_word = reshape(sync_word, 1, []);	%训练序列映射：1->11，0->00
link_id = [1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0];	%链路配置ID序列：ASM-MCS-1.16-4(SAT)    payload_bits = randi([0 1], 1, 920);				%数据载荷
frame_data = [sync_word link_id payload_bits];		%帧数据sk = PSK_Mod(frame_data);							%交替pi/4QPSK
ck = sk(1:L);                                       %本地同步序列
ck_diff = ck(2:end).*conj(ck(1:end-1));
rk = sk;%Doppler
fd = 2e3;                                   %多普勒频率
phi0 = 0;                                   %多普勒初相
n = (0:length(rk)-1);
carrier = exp(1j*(2*pi*fd*n*Ts+phi0));      %多普勒频偏
rk = rk.*carrier;               			%加多普勒
rk_temp = rk;rk_temp = rk_temp (1:L);
rk_diff = rk_temp(2:end).*conj(rk_temp(1:end-1));[y, x] = xcorr(rk_diff, ck_diff);		%计算接收信号的差分值和本地同步序列的差分值的互相关值figure(1);
plot(x, abs(y).^2, '-o');
axis tight;
xlabel('\itj', 'FontName', 'Times New Roman');
ylabel('\it\gamma(j)', 'FontName', 'Times New Roman');%%
function sk = PSK_Mod(frame)temp = reshape(frame, 2, []);for i = 1:length(temp)if (mod(i, 2) == 1)                         %pi/4QPSK if (temp(:, i) == [0; 0])phi(i) = -0.75*pi;elseif (temp(:, i) == [0; 1])phi(i) = 0.75*pi;elseif (temp(:, i) == [1; 0])phi(i) = -0.25*pi;elsephi(i) = 0.25*pi;endelse                                        %QPSK  if (temp(:, i) == [0; 0])phi(i) = -pi;elseif (temp(:, i) == [0; 1])phi(i) = 0.5*pi;elseif (temp(:, i) == [1; 0])phi(i) = -0.5*pi;elsephi(i) = 0;endend
endsk = exp(1j*phi);end

帧头序列差分相关结果的主峰峰值经过26个符号能量的累积，仅当接收信号的差分序列和本地同步序列的差分序列完全对齐的时候，差分相关值才为26。

2.2 扩展

单元平均恒虚警检测器原理如图所示：

对经过差分相关处理的接收信号采用单元平均恒虚警检测器进行检测，并将门限系数K设置为4。差分相关结合恒虚警检测性能效果如图所示（接收信号为连续的3帧ASM信号）：

相应的Matlab代码如下：
L = 43;		%本地同步序列的长度（训练序列：27个符号、链路配置ID：16个符号）EbN0_dB = 5:5;				%设定信噪比
EbN0 = 10.^(EbN0_dB/10);for z = 1:length(EbN0)%…………（部分代码同上）rk = sk;%AWGNPs = sum(abs(rk).^2)/length(rk);	%信号功率SEb = Ps*Tb;							%每比特信号的能量N0 = Eb/EbN0(z);Pn = (N0/2)*fs;						%噪声功率N（双边功率谱密度      同相或正交通道的噪声功率）sigma = sqrt(Pn);noise = sigma*randn(size(rk))+1j*sigma*randn(size(rk));rk = rk+noise;                  %加噪%Dopplerfd = 2e3;                                   %多普勒频率phi0 = 0;                                   %多普勒初相n = (0:length(rk)-1);carrier = exp(1j*(2*pi*fd*n*Ts+phi0));      %多普勒频偏rk = rk.*carrier;               			%加多普勒rk_temp = rk;%仿真恒虚警检测CA_CFAR(rk, ck_diff);             %恒虚警检测成功end%%
function CA_CFAR(rk, ck_diff)rk_temp = repmat(rk, 1, 3);
rk_diff = rk_temp(2:end).*conj(rk_temp(1:end-1));%xcorr()方法计算差分相关值：			
% [y, x] = xcorr(rk_diff, ck_diff);
%filter()方法计算差分相关值：
h = fliplr(conj(ck_diff));			
y = filter(h, 1, rk_diff);register = zeros(1, 17);			%移位寄存器
value = 0;
coef = 4;							%加权系数temp = abs(y);for n = 1:length(temp)value = value-register(end)+temp(n);	%移位寄存器中差分相关值的总功率register = [temp(n) register(1:end-1)];threshold(n) = coef*(value-register(9))/16;
endy_temp = [zeros(1, 8) temp];
threshold_temp = threshold;figure(2);
plot(y_temp); hold on;
plot(threshold_temp);
xlabel('\itn', 'FontName', 'Times New Roman');
ylabel('\fontname{Times New Roman}E_b/N_0=5dB\fontname{宋体}时差分相关和门限电平值');
legend('\fontname{宋体}差分相关值', '\fontname{宋体}门限电平值', 'Location', 'best');end

同时可以结合虚警概率计算差分相关检测技术的检测概率（即发现概率），受限于本人对恒虚警率知识的研究，未能进一步得出结论。希望各位前辈不吝赐教！

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