地宫取宝

标题：地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，
小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
（这道题是去年（2014年）蓝桥杯比赛的一道省赛题目，本人当时这道题没做出来，不过也是有惊无险的进入决赛了。今年再次进入决赛，决定把往年一些算法题拿来研究研究，好好准备下。）
思路如下：
首先我觉得我们搞算法的，可能大家都对回溯算法比较了解。但是我觉得我们大学生去搞算法比赛的，应该慎用回溯，回溯就是剪枝的暴力搜索。
这道题也不例外，可以用回溯，但是数据大了之后，必定会超时。
所以我们选用动态规划（需满足无后效性和最优子结构），动态规划首先是找递推公式
f(n,m,k,max) =

$$\begin{cases} 0, &\text{n>N || m>M || k>K}\\[2ex] 1, &\text{n==N && m==M && k==(K-1)}\\[2ex] d[N-n][M-m], &\text{k==K}\\[2ex] (此时已经拿到K个宝物，只需求从(n,m)到(N,M)有多少条路线)\\[2ex] f(n+1,m,k,max)+f(n,m+1,k,max), & \text{b[n][m]<=max不能取宝物} \\[2ex] f(n+1,m,k,max)+f(n,m+1,k,max)+\\[2ex] f(n+1,m,k+1,b[n][m])+f(n,m+1,k+1,b[n][m]), & \text{b[n][m]>max可以取宝物} \end{cases}$$
f(n,m,k,max)含义是取到(n,m)点，已经取了k个宝物，并且这些宝物中，最大值为max。
有了递推公式，写程序就很简单了

#include 
#include <string.h>#define KK 1000000007 int a[51][51][13][13];//最后一个13从题目得知
int b[51][51];//存放宝藏价值
int d[51][51];
int N, M, K;
int f(int n, int m, int k, int max);
int ff(int n, int m);int main()
{int i, j;scanf("%d %d %d", &N, &M, &K);for (i = 1; i <= N; ++i){for (j = 1; j <= M; ++j){scanf(" %d", &(b[i][j]));}}memset(a,-1,sizeof(a));ff(50,50);a[1][1][0][0] = f(1,1,0,-1);printf("%d", a[1][1][0][0]);return 0;
}int f(int n, int m, int k, int max)
{int &temp = a[n][m][k][max];if (n>N || m>M || k>K) return 0;if (n==N && m==M && k==(K-1) && (b[n][m]>max)) return temp = 1;if (n==N && m==M && k==K)return temp = 1;if (temp!=-1) return temp;
//  if (temp) return temp % KK ;if (k==K) return temp = d[N-n][M-m]%KK ;//这里可以写从(n,m)到(N,M)有多少路线temp = 0;if (b[n][m]>max){temp += f(n+1, m, k, max);temp = temp%KK;temp += f(n,m+1,k,max);temp = temp%KK;temp += f(n+1,m,k+1,b[n][m]);temp = temp%KK;temp += f(n,m+1,k+1,b[n][m]);temp = temp%KK;}else{temp += f(n+1, m, k, max);temp = temp%KK;temp += f(n,m+1,k,max);temp = temp%KK;}return temp;
}int ff(int n, int m)
{int &temp = d[n][m];if (n < 0 || m < 0) return 0;if (n==0 || m==0) return temp = 1;if(temp) return temp;return temp = ff(n-1,m)+ff(n,m-1);
}

其实那个ff（）动态规划可以不需要，大家可以想想为什么？

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