线代基础课程
一.
二阶矩阵A*和A有关系的，如果是分块矩阵（上三角、下三角、主队角三种的）A和A逆也有关系
这只是二阶矩阵的逆，并不是分块矩阵的逆，但是分块矩阵我们往往是分成2阶，所以容易混乱
分块矩阵
zsd：方阵的话不要只想着秩，满秩和不满秩序有6个充要条件（行列式、可逆、相关无关、齐次有解无解、非齐次有解无解、特征值是否含有0）
能相似对角化的矩阵的重要结论是秩等于非0特征值的个数
一.行列式
行列式的概念
考点：行列式的是否为0运用–必须是方阵的前提下（判断向量组线性相关和无关，判断齐次方程组有解的情况）
定义：
行列式的性质 5条、公式7个
e 
重要行列式
重要行列式
化成重要行列式的时候，行变换和列变化都可以
1.2
3.爪形：
4.拉普拉斯行列式：也叫分块矩阵行列式
负对角线才需要-1的好多次方
=
推广：
5.范德蒙行列式
行列式展开定理
代数余子式的数值和当前行和列无关，只是符号相关
行列式是当前元素乘以代数余子式
例题
法2 化成重要行列式
lt 
行列式的公式（7个公式 5个性质）：
lt
lt
5.克莱默法则（用行列式解方程组）
要求系数矩阵是方阵，并且行列式不为0
二.矩阵
矩阵的基本运算
lt
矩阵的逆
lt
逆的性质：
lt 法1 定义
lt 2 法2 · 性质
充要条件：充要
逆的两种求法
矩阵的秩
lt：但是本题如果改成了A可逆的话，这就是充分必要条件了
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第三个等于我们可以从极大无关组角度去理解，因为A可逆方阵（那么本身就是极大无关组），所以下面的和右面的都可以被她表示，也就是可以被消去
行满秩:
T1
第8个乘以转置矩阵秩不变，这里AtA等于AAt是因为判断秩才满足交换律，但是一般A的转置A并不等于A乘以A的转置，只有当正交的时候才满足交换律
秩的性质：9条 最重要的
记忆技巧 2349都是AB两个矩阵，15678都是单独的A的矩阵（倍乘、乘以列行满秩）
第四个：联立拼接的秩大于等于每一个，小于等于秩的和
t 1
t2 
秩的求法：最重要
定义、 化为行阶梯形
伴随矩阵
定义、性质8条
只是二阶使用：二阶的行列式是ad-bc，二阶的伴随是主对角线交换 副对角线添加负号
重要：伴随矩阵公式
一旦我们求A*卡住了，我们就求A逆乘以A的行列式
线性代数只有3个n-1，上面占了2个，还有一个是ab型行列式
重要 A的逆的*等于行列式分之A的
矩阵乘法不满足交换律，所以因式分解对矩阵不能用
重要：星的星
星的秩
t1 子式是对行列式说的
矩阵的初等变化与初等矩阵
初等矩阵必须是一次初等变化
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从后往前用行说，从前往后用列说
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t1[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VW8MiAeW-1690039595921)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320521.png)]
t2
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应用：
矩阵等价的充要条件
t1
法1 最好是不要用定义，法1是用的第一个充要条件
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法2 我们注意将秩和行列式联系起来 法2是用的第2个充要条件
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6UcPfsrI-1690039595926)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320526.png)]
t2 法1是用的第2个充要条件
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分块矩阵
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-F3p4sDCG-1690039595937)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320528.png)]
涉及到分块矩阵的加法，数乘，乘法，行列式（就是拉普拉斯）、转置、逆、伴随
分块矩阵其实就是二阶的对角矩阵，我们可以把任意的主对角线的矩阵分块成二阶的矩阵来求逆，这样方便求逆
此外：对角矩阵的逆矩阵就是对角线取倒数，不管她是几阶的对角矩阵
而对于一般的二阶矩阵来说，它的逆矩阵等于副对角线添加符号（而分块矩阵的副对角线相比二阶的矩阵的来说，除了添加负号还要交换位置），主对角线是好多分之一
推广
分块矩阵的行列式就是拉普拉斯（上三角、下三角、主对角、副对角，其中副对角有个-1的mn次方）
注意：初等矩阵的逆才是用的那个行互换，矩阵不变；；
而对于一般的二阶矩阵来说，它的逆的矩阵等于副对角线添加符号
t1 分块矩阵的行列式就是拉普拉斯（上三角、下三角、主对角、副对角，其中副对角有个-1的mn次方）
涉及到分块矩阵的加法，数乘，乘法，行列式（就是拉普拉斯）、转置、逆、伴随
二阶矩阵的伴随和分块矩阵的对比
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BuR4trJk-1690039595941)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320534.png)]
正交矩阵
正交矩阵的话，A的转置一定是等于A逆的
https://www.bilibili.com/video/BV1eJ411N7Qr/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=f802128dc44c00ca4c4a47ece8d1f3dd
三.
向量的基本运算
重要：
内积是一行乘以一列，长度是根号下平方和
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xkMKO45H-1690039595942)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320538.png)]
性质：数乘只能乘以-1，不能是2 3 啥的
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-B6MIMXS1-1690039595942)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320539.png)]
t1 为什么转置行列式不变呢，因为行列互换行列式的值是不变的
施密特正交化：
线性表示
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-n9ZZRVc0-1690039595944)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320544.png)]
向量组等价：三秩相等
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ljWocJhF-1690039595944)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320545.png)]
向量组等价：
证明向量组等价的3种方法：
1定义：可以互相相互线性表示
2.三个秩序A B 和AB联立的秩相等
3证明了2个秩相等和一个可以被线性表示也可以说明
法1 
法2 初等矩阵的乘积和分块矩阵[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bdJUcnRI-1690039595946)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320549.png)]
线性表示的充要条件：
类比矩阵等价：相似一定等价，但是等价不一定相似，因为矩阵等价只是保证了同型的矩阵秩是相等的
向量组等价：三秩相等
秩重要（第一张的行列式等不等于0，第二章的矩阵是否等价(是否可逆)，第三章线性表示和向量组等价和相关无关，还有齐次非齐次，特征值特征向量，二次型）
充分条件：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2yMmFOZh-1690039595948)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320552.png)]
t
t1[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-dcStkX1Y-1690039595948)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320553.png)]
线性相关与线性无关1
高维相关,则低维相关
t
t1[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-rVLrEz0Z-1690039595951)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320556.png)]
t2 线性相关无关的证明：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E9G0wliT-1690039595951)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320557.png)]
线性相关与线性无关2
线性相关的充要条件（3个）：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-oxJlKXFM-1690039595952)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320558.png)]
推论：行列式和可逆必须要求是方阵
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yFemh4ED-1690039595952)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320559.png)]
类比线性表示的充要条件2个：1.非齐次方程组有解 2. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
lt
t1 定义
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-fnBDuO0r-1690039595953)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320561.png)]
法2 行列式 因为他是n*n的，所以用那个推论的充条件
也可以用秩，秩为1《3[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KghC8dcH-1690039595954)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320562.png)]
线性相关的充分条件：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Zl6sN1iU-1690039595954)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320564.png)]
无关的充分条件：无关被表 个数不多
线性相关充分条件：以少表多，多必相关
lt
线性无关的充要条件（3个）：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iJkMEDqs-1690039595955)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320566.png)]
线性无关的充分条件：（线性相关充分条件的逆否）
重要[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4joyYLIy-1690039595956)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320568.png)]
lt 
法1 A用定义
极大线性无关组与向量组的秩
考点：矩阵的秩等于列向量组的秩，是极大无关组的列向量个数（向量组核心想极大无关组，方程组核心----------以下这是线性相关和无关的充分条件：无关被表 个数不多 逆否命题是以少表多，多必相关 这两个只是线性相关和无关的充分条件
极大无关组就是线性无关的列向量的个数
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Plp3xcAQ-1690039595957)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320571.png)]
秩的定义：行阶梯型非0行的行数，就是矩阵的秩
矩阵的秩行向量组和列向量组的秩
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Q1hR5ske-1690039595958)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320573.png)]
有的时候矩阵的秩不好做，就转换成第三章向量组的秩（向量组的秩也就是极大无关组的个数），反过来，向量组也可以转换成矩阵
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VWSMCP3E-1690039595958)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320574.png)]
lt
t1
初等行变化变成行阶梯型，就能得到极大无关组，化为行最简型，就能线性表示
四.
线性方程组
系数和为1和0
基础解析我们需要的是线性组合系数和是0的，也就是齐次的特解解，加上k就是齐次的通解了 特解我们是要求系数和为1
+2重要：非齐次方程组的线性组合有2种情况，得看系数和
非齐次方程组线性无关得解 重要
t
t1 由性质1：齐次的线性组合，和线性表示的充要条件（看增广矩阵的秩和系数矩阵的秩）
sl：将他的性质也就是必要条件，他的线性组合的解也一定是齐次的解，然后将这个线性组合的解转化到线性表示这里
=
齐次方程组解的判定
t
t1
=
矩阵的秩等于（列）向量组的秩，而向量组的秩又是极大无关组向量的个数
t1
推论：行满秩就是秩等于行数
重要：非齐次方程组上来是要先看增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，在判断是否小于列数n
t
本题实际就是看秩，而秩呢实际上就是将矩阵化为行阶梯型然后看非0行的行数
齐次线性方程组1
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sJ0n9oVB-1690039595967)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320594.png)]
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9sVn1kEd-1690039595968)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320595.png)]
t
综合题
sl：解 有线性组合的性质 == 秩的性质 左乘列满秩，秩不变
t2
本题第二问证明的是秩的第九条性质
齐次线性方程组2
利用定义来求抽象矩阵的解的时候，必须要求有非齐次方程组
求秩只需要化成行阶梯型，但是求基础解析和线性表示的时候，一定要化成行最简型
t
t1
若A*B=0，则B的每一列都是A这个方程组的解
=
t
抽象矩阵
解法2步骤：1 求ra，也就是n-ra，第二部是利用解的定义（2类）或者性质（2条 非齐次的）来凑这n-ra个解
利用定义来求抽象矩阵的解的时候，必须要求有非齐次方程组 本题没有
t2 数字矩阵
sl：初等行变换化成行最简型 利用秩的性质九
非齐次线性方程组
t
本题抽象矩阵，利用解的定义或者性质
t2 数字矩阵的
公共解
== 有三个
t
这里只是讨论的a这一个参数。所以a每次讨论的时候只能取一个值
基础解析克赛不带k为任意常数
同解
区分向量组等价的充分条件：三秩.相等（他是列向量组联立）
而同解是行向量组联立，
注意：同解对象 这里给的AB是矩阵，而向量组等价是给的列向量组
向量组等价和方程组同解 都有三秩相等，只不过向量组等价是左右联立，而方程组同解是上下联立
t
t1 证明了秩的性质8
难题都得利用矩阵的基本运算化简（有加法、数乘、转置）
t2
五
特征值与特征向量的概念1
xx
zy
t
t1
定义：
t2 定义：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SS8UH5AI-1690039595977)(https://gitee.com/jianwanxiansheng/cloudimage/raw/master/img/202307222320621.png)]
=
特征方程发3步骤
==
推论：注意推论
t
t1
==正交矩阵充要条件有行列式为+1或者–1
正交矩阵有个隐含条件就是行列式为1或者-1
这里只要说了是正交矩阵，则我们构造A+E的行列式，并且化简，然后利用正交矩阵A的行列式不为0这个隐含条件，来推正交矩阵隐含的那个特征值，注意这里只有A的行列式小于0才有这个结论，大于0没有
特征值与特征向量的概念2
同一特征值的特征向量可能线性相关，但是要想让这个矩阵相似于对角矩阵，那么就必须要求同一特征值的特征向量是线性相关的
你行转世啊
t
==
特征值和特征向量的表格法
不同特征值的特征向量一定是不同的，但是同一特征值的特征向量可能相同可能不同
A的转置和A只是特征方程相同，故那慕达相同，但是特征向量无法确定
=
t
相似
矩阵相似一定等价，但是矩阵等价不一定相似
证明逆和转置
t
t1 逆是可以提出来的，转置不可以提
t2 本题考察相似和4个必要条件的当中的一个，特征值相同
相似对角化
只有相似对角化的矩阵秩等于非0特征
zj：只有这里才会求不同特征值的特征向量，然后拼接特征向量P和 相似的特征值矩阵
AB相似一定有相同的特征值，但是有相同的特征值不一定相似
特殊的，对于如果AB都是可以相似对角矩阵的，那么相似一定有相同的特征值，而且有相同的特征值也就一定相似 ：：：证明如下图
= 二充要 + 一个秩为1的充要
这里扩展一个特殊的当秩为1的矩阵可以相似对角化的充分必要条件是寄非0
t
判断相似除了四个必要条件，还有个他们共同相似于对骄矩阵
利用充要条件做
=
充分条件3个
三充分 二充要 + 一个秩为1的充要
充要补充1：还多了一个秩为1的矩阵，且迹不为0，也是充分条件（充要条件）则一定可以相似对角化
充分补充2：若特征方程
反例：
t2
可以通过秩等于非0特征值的个数来确定我们求出来的各个特征值有多少个
我们同时乘以一个阿尔法，A方阿尔法是那慕达平方倍阿尔法，A倍阿尔法是那慕达倍阿尔法，
实对称矩阵
相似对焦的矩阵（除了实对称矩阵–它天生可以相似对角化）不同特征值的特征向量无关，而实对称矩阵不同特征值的特征向量不仅无关还正交
实对称矩阵的考点：不同特征值的特向是正交的
二：实对称矩阵的分解定理
实对称矩阵补充一个性质：天生存在一个对角矩阵和她相似
实对称矩阵的k重特征值一定是k个线性无关的特征向量，所以他必可相似对角化
正交是内积为0，长度为1
t
t1 利用推论，相似对角化的矩阵，秩等于非0特征值的个数
= 正交矩阵的3大步
只需要同一特征值的特征向量是正交的，即只需要同一特征值不同特征向量用正交化，然后单位话；；；；；同一
zzz 分解定理强化用
在05.第五章 专题四 实对称矩阵
t
t1
法1
因为本题是不知道A的具体矩阵，只知道他的两个正交的特征向量，但是不单位的，所以我们在求另外一个特征值的
A的秩是2，肯定有个那慕达是0
法2 只需要不同特征值的特征向量是正交的，同一特征值的向量不需要，因为同一特征值保证了特征向量一定是正交无关的，只需要单位化即可
（2）
法3 A是用的分解定理，A秩为2，所以分解两次
六.（这一章的矩阵都要求是实对称矩阵）
考点：拉格朗日配方法配出来虽然不一定满足是系数就是特征值，但是它可以保证的是拉格朗日配方法一定是可逆线性变换的
和其正 合同 正定
施密特正交化：
二次型与标准型
二次型的矩阵形式：
t
= 正交矩阵的转换的推导
先是标准型，再是规范型
合同矩阵
充要条件 2个：巧记忆：合同合同，肯定要有相同的惯性指数和那慕达（合同合同 马同什么 ，同惯性指数和那慕达）
合同的充分条件:：：：在满足AB两个是实对称矩阵的前提下，AB相似是可以推出合同的
合同的必要条件：合同秩一定是相等的，反过来秩相等不一定合同 这是合同的必要条件
考点：合同变换包含了正交变换，因为合同变换是只是要求找到一个可逆的矩阵，并不需要找一个正交矩阵。
考点：相似变换的矩阵和合同变换的矩阵是必须要要求这个矩阵是可逆的
考点：正交变换既是合同 变换也是相似变换
拓展：合同秩一定是相等的，反过来秩相等不一定合同 这是合同的必要条件
考点：合同变换包含了正交变换，因为合同变换是只是要求找到一个可逆的矩阵，并不需要找一个正交矩阵。
合同的充分条件:：：：在满足AB两个是实对称矩阵的前提下，AB相似是可以推出合同的
相似一定矩阵等价（因为相似的必要条件是秩相等），矩阵等价但是不一定相似
t 看合同只需要正负惯性指数
正定矩阵
=
正定的充要条件从特征值这里散发开可以得到3个，然后再来个和单位矩阵和合同，因为合同的必要条件是秩相同，因为E是满秩，所以正定矩阵一定是满秩矩阵
正定矩阵的必要条件：满秩、行列式不为0，还有必要条件就是主对角线的每个元素必须要大于0
考点必要条件；正定矩阵的主对角线元素一定大于零 逆否命题就是 主对角线元素有＜零的就不正定
t
t2
相似、正定都满足上标运算的性质
(img-7qqNNK5o-1690039596007)]
[外链图片转存中…(img-BQhKiNU0-1690039596008)]
充要条件 2个：巧记忆：合同合同，肯定要有相同的惯性指数和那慕达（合同合同 马同什么 ，同惯性指数和那慕达）
合同的充分条件:：：：在满足AB两个是实对称矩阵的前提下，AB相似是可以推出合同的
合同的必要条件：合同秩一定是相等的，反过来秩相等不一定合同 这是合同的必要条件
考点：合同变换包含了正交变换，因为合同变换是只是要求找到一个可逆的矩阵，并不需要找一个正交矩阵。
考点：相似变换的矩阵和合同变换的矩阵是必须要要求这个矩阵是可逆的
考点：正交变换既是合同 变换也是相似变换
[外链图片转存中…(img-uEbJnvEW-1690039596008)]
拓展：合同秩一定是相等的，反过来秩相等不一定合同 这是合同的必要条件
考点：合同变换包含了正交变换，因为合同变换是只是要求找到一个可逆的矩阵，并不需要找一个正交矩阵。
合同的充分条件:：：：在满足AB两个是实对称矩阵的前提下，AB相似是可以推出合同的
相似一定矩阵等价（因为相似的必要条件是秩相等），矩阵等价但是不一定相似
t 看合同只需要正负惯性指数
[外链图片转存中…(img-seAtO4kq-1690039596008)]
正定矩阵
[外链图片转存中…(img-FIuJXxMj-1690039596009)]
=
正定的充要条件从特征值这里散发开可以得到3个，然后再来个和单位矩阵和合同，因为合同的必要条件是秩相同，因为E是满秩，所以正定矩阵一定是满秩矩阵
正定矩阵的必要条件：满秩、行列式不为0，还有必要条件就是主对角线的每个元素必须要大于0
考点必要条件；正定矩阵的主对角线元素一定大于零 逆否命题就是 主对角线元素有＜零的就不正定
[外链图片转存中…(img-TXZPctNS-1690039596009)]
[外链图片转存中…(img-Q4r72nVR-1690039596010)]
t
[外链图片转存中…(img-gcTL7gLf-1690039596010)]
t2
相似、正定都满足上标运算的性质
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