Numpy二项分布和泊松分布

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  • 泊松分布

二项分布

在我的印象中，二项分布貌似是高中学到的第一个分布，就算不是第一个，也是第一批。所以从理解上来说是不存在困难的，在$N$次独立重复的伯努利试验中，设A在每次实验中发生的概率均为$p$。则$N$次试验后A发生$k$次的概率分布，就是二项分布，记作$X\sim B(n,p)$，则

P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k

import numpy as np
from numpy.random import binomial
import matplotlib.pyplot as pltfig = plt.figure()
ps = [0.2, 0.5, 0.7]
for i in range(3):ax = fig.add_subplot(1,3,1+i)ax.set_title(f"p={ps[i]}")for n in [50,100,200]:xs = binomial(n, ps[i], size=10000)ax.hist(xs, bins=100, alpha=0.6, label=f"n={n}")plt.legend()plt.show()

效果如图所示

可见随着p越来越大，$X$发生的概率越来越趋近于$n$。

泊松分布

如果假定在有限时间$(0,1)$内进行$n$次伯努利实验，那么每次伯努利实验所占用的时间为 1 n \frac{1}{n} n1​，按照自然规律，一件事情肯定是时间越长越容易发生，所以在加上有限时间这个限定之后，一件事情发生的概率必然与 1 n \frac{1}{n} n1​成正比，将其记作 λ n \frac\lambda n nλ​，则二项分布变为

P { X = k } = ( n k ) ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k P\{X=k\}=\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} P{X=k}=(kn​)(nλ​)k(1−nλ​)n−k

如果这个时间差 1 n \frac1n n1​非常小，以至于伯努利事件变得近似连续，则有

lim ⁡ n → ∞ P { X = k } = lim ⁡ n → ∞ ( n k ) ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k \lim_{n\to\infty} P\{X=k\}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} n→∞lim​P{X=k}=n→∞lim​(kn​)(nλ​)k(1−nλ​)n−k

其中

lim ⁡ n → ∞ ( n k ) ( λ n ) k = λ k k ! \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k=\frac{\lambda^k}{k!} n→∞lim​(kn​)(nλ​)k=k!λk​

而后面有一项更是传说中的重要极限

lim ⁡ n → ∞ ( 1 − λ n ) n = e − λ \lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n=e^{-\lambda} n→∞lim​(1−nλ​)n=e−λ

综上就得到了一个新的分布

P ( x = k ) = e − λ λ k k ! P(x=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} P(x=k)=k!e−λλk​

此即泊松分布，表示某个随机事件在连续时间内发生的概率，其中 λ n \frac\lambda n nλ​表示单位时间内某件事发生的概率。

from numpy.random import poissonfor lam in [5, 10, 25]:xs = poisson(lam, size=10000)plt.hist(xs, 50, range=(0,50), alpha=0.6,label=f"lambda={lam}")plt.legend()
plt.show()

效果为

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