移动机器人的运动学模型:车式移动机器人

车式移动机器人运动学模型

问题

车式移动机器人更具有普遍意义。

参数

• $v$：机器人自身线速度
• $\omega$：前轮转向角速度
• $\text{u}$：输入，包括$v$，$\omega$
• q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙​：机器人在环境中的位姿描述
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
• $\varphi$：前轮转角
• $L$：车身长度

推导1

当知道机器人自身前进速度和前轮转角角速度时，求机器人在环境中的位姿。

q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙​= $f(\text{u})$

定义机器人在环境中位姿：
q = [ x y θ ϕ ] \textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ \phi \end{aligned} \right] q=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​xyθϕ​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
机器人输入，包括自身线速度和前轮转角角速度：
u = [ v ω ] \textbf{u}=\left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right] u=[vω​]
而
x ˙ = cos ⁡ ( θ ) v y ˙ = sin ⁡ ( θ ) v ϕ ˙ = ω \begin{aligned} \dot{x} &= \cos(\theta) v \\ \dot{y} &= \sin(\theta) v\\ \dot{\phi} &= \omega \end{aligned} x˙y˙​ϕ˙​​=cos(θ)v=sin(θ)v=ω​
对与计算角速度可以参照下图(其他地方扣过来的，注意符号使用不太一样)

就有了 θ ˙ = tan ⁡ ϕ L v \dot{\theta} = \frac{\tan\phi}{L} v θ˙=Ltanϕ​v
那么，
q ˙ = [ cos ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ ) 0 tan ⁡ ϕ L 0 0 1 ] u \dot{\textbf{q}}= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \textbf{u} q˙​=⎣⎢⎢⎡​cos(θ)sin(θ)Ltanϕ​0​0001​⎦⎥⎥⎤​​u
更详细的，即：
[ x ˙ y ˙ θ ˙ ϕ ˙ ] = [ cos ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ ) 0 tan ⁡ ϕ L 0 0 1 ] [ v ω ] \left [ \begin{aligned} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \end{aligned} \right]= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡​x˙y˙​θ˙ϕ˙​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cos(θ)sin(θ)Ltanϕ​0​0001​⎦⎥⎥⎤​​[vω​]

推导2

另一种情况是，知道机器人的前轮转角角度（即方向盘角度）和加速度（即油门），想要求机器人的状态。

• $v$：机器人自身线速度（前进速度）
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
• $\text{u}$：输入，包括$v$，$\theta$
• q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙​：机器人在环境中的位姿描述
• $\varphi$：前轮转角
• $L$：车身长度
  机器人的状态
  q = [ x y θ v ] T \textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ v \end{aligned} \right]^T q=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​xyθv​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​T
  机器人输入，包括(油门)加速度和(方向盘)前轮转角：
  u = [ a ϕ ] \textbf{u}=\left [ \begin{aligned} a \\ \phi \\ \end{aligned} \right] u=[aϕ​]
  那么，
  x ˙ = v ∗ cos ⁡ ( θ ) y ˙ = v ∗ sin ⁡ ( θ ) θ ˙ = v ∗ tan ⁡ ( ϕ ) / L v ˙ = a \begin{aligned} \dot{x} &= v * \cos (\theta)\\ \dot{y} &= v * \sin (\theta)\\ \dot{\theta} &= v * \tan(\phi) / L \\ \dot{v} &= a \end{aligned} x˙y˙​θ˙v˙​=v∗cos(θ)=v∗sin(θ)=v∗tan(ϕ)/L=a​
  更进一步单步更新可以表示为：
  x t + 1 = x t + v ∗ cos ⁡ ( θ ) ∗ d t y t + 1 = y t + v ∗ sin ⁡ ( θ ) ∗ d t θ t + 1 = θ t + v ∗ tan ⁡ ( ϕ ) / L ∗ d t v t + 1 = v t + a ∗ d t \begin{aligned} x_{t+1} &= x_{t} + v * \cos (\theta) * dt\\ y_{t+1} &= y_{t} + v * \sin (\theta)* dt\\ \theta_{t+1} &= \theta_{t} + v * \tan(\phi) / L*dt\\ v_{t+1} &= v_{t} + a * dt \end{aligned} xt+1​yt+1​θt+1​vt+1​​=xt​+v∗cos(θ)∗dt=yt​+v∗sin(θ)∗dt=θt​+v∗tan(ϕ)/L∗dt=vt​+a∗dt​

Reference

• https://blog.csdn.net/qq_40870689/article/details/87971282
• http://www.cs.cmu.edu/~rasc/Download/AMRobots3.pdf
• Autonomous Robots Modeling, Path Planning, and Control

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