线性代数的一些小细节

1 .矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

如下图中，UWQ三个矩阵，(UW)Q 和U(WQ)的2种结合，证明矩阵乘法满足结合律。

AB 和BA的表达式，如下图中，相同的条件是对应的8项都相同（两个对称矩阵必然满足条件），但是实际上，矩阵展开后的x和y位置是是转置的，只有对角线上的项的乘积是相等的，因此两者的值必然不同：

2. 对称矩阵A（也可以不是对称矩阵）求对角阵或特征值。正数的特征值的个数就是正惯性指数，负数的特征值个数就是负惯性指数。实对称矩阵的特征值必然是实数，特征向量必然线性无关且正交，即AQ=QLamda，其中Lamda是以A的特征值为迹的对角矩阵，即A= QBQ^(-1)（Q ^(-1)为Q的逆矩阵），此定理称为“谱定理”。

对称矩阵一定可以写成：B= (A^t) * (A)，即对称矩阵来源于矩阵和它的转置矩阵的乘积。

3. 正定矩阵中“正定”的含义：对于任意向量x, (x ^ t)* A*x >0。

该性质的证明思路：

(1) 正定矩阵的二次型的可以化为标准型，所以二次型的值必然大于0。

(2) (x ^t)(B ^ t)(Lamda)(B)(x) > 0，其中Lamda是以A的特征值为迹的对角矩阵，有转置矩阵的性质得知其值必然大于0。

(3) 其他方法也可得证。

4. 合同：就是两个矩阵有相同的正负惯性指数。在实数域上，只要两个矩阵的正负惯性指数相同，即可以认为两个矩阵存在合同。这是非常重要的判别的一句话！

5. (AB)^t = B ^t * A ^t
   

6. 证明对称矩阵的秩为1

7. 证明AB 的特征值跟BA 的特征值相同

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