岭回归，Lasso和LAR学习(一)

概要：我们要区分岭回归和lasso以及LAR的关系，岭回归是用于消除多重共线性问题，也可以用于删除无效变量（贡献率低或打酱油变量，后面会提及）。Lasso是岭回归的改进算法，对删除无效变量有帮助，而LAR是求Lasso解的一种有效算法。  

先进入多远线性回归问题，先观察以下矩阵：

  这里y是因变量，β1~βp是所有X的系数，β0是常数，ε1~εn是误差。因此，多远线性回归可以表示成：

    用矩阵乘法表示，更加简洁。那么问题来了，Y是结果，即因变量，而X是影响因素，即自变量，在实际分析中，Y和X是已知的。我们要求的就是β，即X的系数。这里根据数学推导，可以求的β的表达式为：

    这个式子是用最小二乘法对β的估计结果，补充说明的是，该式可以化简为：

    其中，叫做矩阵的广义逆。那么问题就继续分析求X的逆的问题，但在实际问题中，我们会面临两个重要问题，一是X是否是奇异矩阵，二是X中变量是不是都做出贡献。

    为体现我的写博客宗旨，这里解释一下奇异性和贡献的意思，1，奇异矩阵的充要条件就是X矩阵的行列式为0（|X|=0），我们知道如果一个矩阵中存在某几个个向量共线（就是两个向量成比例），那这个矩阵的行列式就一定是0，即该矩阵叫做奇异矩阵。2，变量有没有贡献就是指某个X指标对结果Y有没有影响，比如Y是某学生的考试平均分，X中有x1（语文成绩），x2（数学成绩），x3（吃饭速度）……这里x3这个分量就是打酱油的数据，对Y的最终贡献率为0，那我们就要把x3这个分量剔除。

    因此，直接用最小二乘法会遇到求不出解的情况，于是我们的问题就转而变成研究：1，消除共线性（去除奇异性）；2，剔除无效分量x。在实际问题中，若某两个X分量的比值很大（数/很小的数），我们就认为这两个分量线性相关，而剔除无效分量的方法在后面会讲到。

     岭回归（Ridge Regression，RR）

    1962年由Heer首先提出，1970年后他与肯纳德合作进一步发展了该方法。RR要先对数据做标准化，为了记号方便，标准化后癿学习集仍然用X表示
    其实岭回归说白了就是增加原矩阵的稳定性。公式如下：

，其中k称为岭参数。

岭回归的几个明显性质：

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