读懂黎曼猜想(一)

黎曼猜想是这样表述的：

ζ函数的所有非平凡零点的实部都是 1 2 \frac{1}{2} 21​。

如果你现在就看懂了，又如果你有空，希望你对我下面的内容多多指点。
就在不久前，迈克尔·阿蒂亚宣称已经证明了黎曼猜想，不过据说验证其结果需要两年时间，而我们在结果出来之前，可以先搞懂黎曼猜想到底说的是什么？

ζ函数

我们一般把函数表示成f(x)形式，未知数一般用x表示，但是因为黎曼猜想太出名了，从黎曼自己在论文中用s作为自变量开始，大家就一直沿用至今。至于函数名为是什是ζ（读作zeta,第六个小写希腊字母），也可能是黎曼随手写的，至少我没有看出这个名字对函数本身有任何影响，也就是说换一个常用的f来表示对这个函数无任何影响。废话这么多，只为了让大家知道就名称来讲，ζ(s)和f(x)一样并无特殊之处。
ζ函数是这样的：

ζ ( s ) = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + ⋯ ζ(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\cdots ζ(s)=1+2s1​+3s1​+4s1​+5s1​+6s1​+⋯

这个函数可以用求和符号简写成：
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s ζ(s)=\sum_{n=1}^{\infty} {n^{-s}} ζ(s)=n=1∑∞​n−s

素数

我小学时的数学课本上称其为质数。素数就是大于1且只能被1和它本身整除的自然数。我们很轻易的知道20以内的素数如下。
2 3 5 7 11 13 17 19

2017年12月26日，互联网梅森素数大搜索（GIMPS）项目宣布发现第 50 个梅森素数(可以写成2^n -1的素数)和已知最大的素数：2^77,232,917-1，共有 23,249,425 位。
如果不嫌麻烦纸也足够的情况下，我们可以把这些素数都写出来，但是从表面上看，他们还是无规律可循。而ζ函数被称为素数定理，乍看起来，好想如素数也没什么关联。

ζ函数确切的说，应该是增强的素数定理。因为我们常说的素数定理是指素数分布定理，这个已经被证明。

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