重学泛函分析笔记（1）--Hahn-Banach定理证明的理解

   ​Hahn-Banach定理是泛函分析中的一个重要定理，它的详细证明在泛函分析的书籍上都能找到，比如孙炯老师的《泛函分析》，张恭庆老师的《泛函分析讲义（上）》等。证明过程分为两个主要部分：

1. 在实的赋范线性空间中证明保范延拓存在。
     （1.1）对于$X\backslash G$中的任意一点 x 1 x_1 x1​，证明$f$可以保范延拓到 x 1 x_1 x1​和$G$张成的空间.
    （1.2）利用Zorn引理，证明在全空间$X$上存在$f$的保范延拓（有点类似数学归纳法的意思）.
2. 在复的赋范线性空间中证明保范延拓存在.

​    ​ 以前学的时候感觉都懂了，最近重新看，有些细节上似懂非懂，所以用我们熟悉的欧式空间来加深Hahn-Banach定理证明步骤中(1.1)的理解。(1.2)和第二步的证明都是比较容易看懂的。

​    ​现考虑的$X$为 R 3 \mathbb{R}^3 R3 空间，$G=\mathbb{R}$是$X$的子空间，$f$是$G$上的有界线性泛函，对于我们这里考虑的一维欧式空间，$f$就是我们熟知的线性函数$f=kx,x\in G$. 下面看如何来构造$f$在$G$上的保范延拓。 由于$G$是$X$的线性子空间，所以可以取 x 1 ∈ X \ G x_1 \in X\backslash G x1​∈X\G （若不然，$G=X$，定理自然成立）。我们设 x 1 x_1 x1​为向量 x 1 = ( ξ 1 , ξ 2 ) x_1 =(\xi_1,\xi_2) x1​=(ξ1​,ξ2​)，考虑 x 1 x_1 x1​与$G$张成的子空间
G 1 = { x + α x 1 ∣ x ∈ G , α ∈ R } G_1=\{x+\alpha x_1| x\in G,\alpha \in \mathbb{R}\} G1​={x+αx1​∣x∈G,α∈R}
所以对于某一点$x$， G 1 G_1 G1​对应的元素为向量 η = ( x + α ξ 1 , α ξ 2 ) \eta=(x+\alpha \xi_1, \alpha \xi_2) η=(x+αξ1​,αξ2​)，如图所示。从图中可以看到，固定一点$x$，$\eta$的端点都落在直线 L 1 L_1 L1​上，让$x$取遍$\mathbb{R}$中的值, G 1 G_1 G1​就是整个 R 2 \mathbb{R}^2 R2空间。

   ​ 在 G 1 G_1 G1​上定义函数
f 1 ( x + α x 1 ) = f ( x ) + α β ( x ∈ G , α ∈ R ) f_1(x+\alpha x_1)=f(x)+\alpha\beta (x\in G, \alpha \in \mathbb{R}) f1​(x+αx1​)=f(x)+αβ(x∈G,α∈R)
当$\beta$选择合适，可以证明 f 1 f_1 f1​是$f$在 G 1 G_1 G1​上的保范延拓。看下图，$f=kx$由直线 L 1 L_1 L1​来表示。

先对于$G$中固定的一个$x$来看， f 1 f_1 f1​是终点在 L 1 L_1 L1​上的向量的函数，所有 f 1 f_1 f1​的值，构成了直线 L 3 L_3 L3​。 再将$x$取遍$\mathbb{R}$，则 f 1 f_1 f1​的值就构成了由 L 2 L_2 L2​与 L 3 L_3 L3​所张成的那个平面$\Sigma$。所以$f$在 G 1 G_1 G1​上的延拓，在图像上理解，就是过 L 2 L_2 L2​并有一定倾角（角度与$\beta$的选择有关，后面会说）的平面$\Sigma$。

​    ​ 前面提到$\beta$的选择要合适， f 1 f_1 f1​才是$f$的保范延拓，这是怎么理解的呢？ 因为就利用 R n \mathbb{R}^n Rn向量空间中的2范数为例来理解，
∣ f 1 ( η ) ∣ = f ( x ) + α β = k x + α β , ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 = ( x + α ξ 1 ) 2 + ( α ξ 2 ) 2 |f_1(\eta)|=f(x)+\alpha \beta=kx+\alpha \beta ,\\ | |\eta||^2_2=(x+\alpha\xi_1)^2+(\alpha\xi_2)^2 ∣f1​(η)∣=f(x)+αβ=kx+αβ,∣∣η∣∣22​=(x+αξ1​)2+(αξ2​)2
根据线性泛函范数的定义
∣ ∣ f ∣ ∣ = max ⁡ η ≠ 0 ∣ f ( η ) ∣ ∣ ∣ η ∣ ∣ ||f||=\max_{\eta\neq 0}\frac{|f(\eta)|}{||\eta||} ∣∣f∣∣=η​=0max​∣∣η∣∣∣f(η)∣​
可以知道在这里具体的例子中$||f||=|k|$，我们分析
∣ f 1 ( η ) ∣ 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 = ( k x + α β ) 2 ( x + α ξ 1 ) 2 + ( α ξ 2 ) 2 = k 2 + ( k x + α β ) 2 − k 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 \frac{|f_1(\eta)|^2}{||\eta||^2_2}=\frac{(kx+\alpha \beta)^2}{(x+\alpha\xi_1)^2+(\alpha\xi_2)^2}=k^2+\frac{(kx+\alpha \beta)^2-k^2||\eta||^2_2}{||\eta||^2_2} ∣∣η∣∣22​∣f1​(η)∣2​=(x+αξ1​)2+(αξ2​)2(kx+αβ)2​=k2+∣∣η∣∣22​(kx+αβ)2−k2∣∣η∣∣22​​
所以 f 1 f_1 f1​要能够保范，则要求 ( k x + α β ) 2 − k 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 (kx+\alpha \beta)^2-k^2||\eta||^2_2 (kx+αβ)2−k2∣∣η∣∣22​的值最大为0（这里 ξ 1 , ξ 2 \xi_1, \xi_2 ξ1​,ξ2​固定，$x\in G,\alpha \in \mathbb{R}$). g ( β ) = ( k x + α β ) 2 − k 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 g(\beta)=(kx+\alpha \beta)^2-k^2||\eta||^2_2 g(β)=(kx+αβ)2−k2∣∣η∣∣22​是关于$\beta$的二次函数，并且最小值为 − k 2 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 2 -k^2||\eta||^2_2 −k2∣∣η∣∣22​是小于等于零的（一定有根）,函数的图像如下图。

记$g(\beta )=0$的两个根为 β 1 ≤ β 2 \beta_1\leq\beta_2 β1​≤β2​。所以$\beta$的取值不能取 ( − ∞ , β 1 ) ∪ ( β 2 , ∞ ) (-\infty,\beta_1)\cup(\beta_2,\infty) (−∞,β1​)∪(β2​,∞)。因此要求$g(\beta )$的最大值为0，$\beta$需要在 [ β 1 , β 2 ] [\beta_1, \beta_2] [β1​,β2​]范围内。容易得到$g(\beta )=0$的根为
β 1 = 1 α ( − k x − ∣ k ∣ ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 ) , β 2 = 1 α ( − k x + ∣ k ∣ ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 ) , α > 0 , 或 β 1 = 1 α ( − k x + ∣ k ∣ ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 ) , β 2 = 1 α ( − k x − ∣ k ∣ ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 ) , α < 01 ) (() \beta_1=\frac{1}{\alpha}(-kx-|k|||\eta||_2) ,\quad \beta_2=\frac{1}{\alpha}(-kx+|k|||\eta||_2) ,\quad \alpha > 0 ,\\ 或 \beta_1=\frac{1}{\alpha}(-kx+|k|||\eta||_2) ,\quad \beta_2=\frac{1}{\alpha}(-kx-|k|||\eta||_2) ,\quad \alpha < 0 \tag(1) β1​=α1​(−kx−∣k∣∣∣η∣∣2​),β2​=α1​(−kx+∣k∣∣∣η∣∣2​),α>0,或β1​=α1​(−kx+∣k∣∣∣η∣∣2​),β2​=α1​(−kx−∣k∣∣∣η∣∣2​),α<01)(()
当$\alpha =0$时， f 1 ( x ) = f ( x ) ， x ∈ G f_1(x)=f(x)，x\in G f1​(x)=f(x)，x∈G，范数显然相同。对（1）式做一些处理，把$\alpha$吸收进去，回忆 ∣ ∣ η ∣ ∣ 2 = ( x + α ξ 1 ) 2 + ( α ξ 2 ) 2 | |\eta||_2=\sqrt{(x+\alpha\xi_1)^2+(\alpha\xi_2)^2} ∣∣η∣∣2​=(x+αξ1​)2+(αξ2​)2 ​，有
β 1 = k ( − x α ) − ∣ k ∣ ( − x α − ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 , β 2 = − k x α + ∣ k ∣ ( x α + ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 , α > 0 , 或 β 1 = − k ( x α ) − ∣ k ∣ ( x α + ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 , β 2 = k ( − x α ) + ∣ k ∣ ( − x α − ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 , α < 0 \beta_1=k(-\frac{x}{\alpha})-|k|\sqrt{(-\frac{x}{\alpha}-\xi_1)^2+(\xi_2)^2} ,\quad \beta_2=-k\frac{x}{\alpha}+|k|\sqrt{(\frac{x}{\alpha}+\xi_1)^2+(\xi_2)^2} ,\quad \alpha > 0 ,\\ 或 \beta_1=-k(\frac{x}{\alpha})-|k|\sqrt{(\frac{x}{\alpha}+\xi_1)^2+(\xi_2)^2} ,\quad \beta_2= k(-\frac{x}{\alpha})+|k|\sqrt{(-\frac{x}{\alpha}-\xi_1)^2+(\xi_2)^2} ,\quad \alpha < 0 β1​=k(−αx​)−∣k∣(−αx​−ξ1​)2+(ξ2​)2 ​,β2​=−kαx​+∣k∣(αx​+ξ1​)2+(ξ2​)2 ​,α>0,或β1​=−k(αx​)−∣k∣(αx​+ξ1​)2+(ξ2​)2 ​,β2​=k(−αx​)+∣k∣(−αx​−ξ1​)2+(ξ2​)2 ​,α<0
考虑到$x\in G$，则 x α , − x α ∈ G \frac{x}{\alpha}, -\frac{x}{\alpha} \in G αx​,−αx​∈G，所以上面关于$\beta$的取值范围和书本上一般情况$\beta$的取值范围（下式）是吻合的。
sup ⁡ x ∈ G { f ( x ) − ∣ ∣ f ∣ ∣ G ∣ ∣ x − x 1 ∣ ∣ } ≤ β ≤ inf ⁡ x ∈ G { ∣ f ∣ ∣ G ∣ ∣ x + x 1 ∣ ∣ − f ( x ) } \sup_{x\in G}\{f(x)-||f||_G||x-x_1||\}\leq \beta\leq\inf_{x\in G}\{|f||_G||x+x_1||-f(x)\} x∈Gsup​{f(x)−∣∣f∣∣G​∣∣x−x1​∣∣}≤β≤x∈Ginf​{∣f∣∣G​∣∣x+x1​∣∣−f(x)}

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