金融工程---OLMAR和RMR的思路简介

导语：

先说OLMAR，然后再说RMR，这两篇论文所使用的得到最后的资产配置的手段差不多，但是在预测未来价比的时候，用的手段有些差别。

两种类型的MA

SMA(Simple Moving Average)

这种移动平均价格简单直白的翻译过来就是“简单移动平均”，它的计算方式是：

$$SMA_t(w)=\frac{1}{w}\sum_{i=t-w+1}^tp_i$$

意思就是求最近w天的算术平均。简单易懂但是他的缺陷是在于它只用到了最近w天的。

所以，自然有另外一种移动平均线叫做：

EMA(Exponential Moving Average)

直接翻译过来叫做“指数移动平均”，为啥这样叫呢，可能是因为它的计算方式是这样的：

$$EMA_t(\alpha)=\alpha p_t+(1-\alpha)EMA_{t-1}(\alpha)$$ $$=\alpha p_t+(1-\alpha)\alpha p_{t-1}+(1-\alpha)^2\alpha p_{t-2}+···+(1-\alpha)^{t-1} p_1$$

这样的手段在《证券技术分析》这本书中好像被称为是什么平滑。emmm大概就是时间距离现在越近，就越重要，越远就越不重要，然后参数$\alpha$是用来调整这个相对重要程度的。我们可以看到越过去，$(1-\alpha)$的次数也就越高，所以这大概就就是为什么这个被称为在”指数移动平均“吧

Moving Average Reversion

再讲MAR之前我们先理解一下AR，也就是均值回归，它的思想很简单，就是认为，如果一个本来表现很好的股票，突然最近表现得非常差，那么这只股票在未来的几天就会进行一些调整，即价格有可能会回升。

那么MAR也是如此，只不过跟绝对的均值比较换成了与移动平均价格进行对比，在本文中提出了两种计算MAR的方式，分别对应我呢之前所说的SMA和EMA

MAR-1

$$\tilde{x}_{t+1}(w)=\frac{SMA_t(w)}{p_t}=\frac{1}{w}(\frac{p_t}{p_t}+\frac{p_{t-1}}{p_t}+···+\frac{p_{t-w+1}}{p_t})$$
在说这个公式的思想之前我们先来解释一下符号吧， $\tilde{x}_{t+1}$表示预测的t+1的价比， $p_t$表示第t天的价格， $SMA_t(w)$表示在时间窗口选为 $w$时，第t天的简单移动平均价格。
然后我们很容易看出来，当公式右边的比值>1时，也就是第t天的价格较最近w天的SMA有所下降的话，那么最后预测出来的价比该公式就认为它会>1（基于我们刚才所说的均值回归思想）

上面说的是用SMA的，接下来我们来看看用EMA的：

MAR-2

当然同样是使用
$$\tilde{x}_{t+1}=\frac{EMA_t(\alpha)}{p_t}$$
可以化简为:
$$\tilde{x}_{t+1}=\alpha+(1-\alpha)\frac{\tilde{x}_t}{x_t}$$

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事实上MAR-1和MAR-2这两个公式本身已经有了对未来进行预测的功能，但是本文并不满足于此，为了得到更好的结果，他们还往其中加入了一种学习算法—Passive Aggressive

原文中是这样描述的：

基于这两种MAR的计算方法，OLMAR进一步的引用了一种有效在线学习的思想，Passive Aggressive learning，用它来充分发挥出均值回归的作用。通常是哟弄俩分类，PA将被动保存以前的解如果分类是正确的话，如果不正确，PA将生成一个新的解。在我们量化OLMAR最优化问题之后，我们再来设计算法来解决它。

那我们来看看什么是PA学习吧，其实就是下面的更新策略而已：

$$b_{t+1}=arg min \frac{1}{2}||b-b_{t}||^2， s.t. b\tilde{x}_{t+1}\geq \epsilon$$

其中$\epsilon$是一个阈值。这个东西在更新的时候时候是按照公式：

$$b_{t+1}=b_t+\lambda_{t+1}(\tilde{x}_{t+1}-\overline{x}_{t+1})$$

其中$\overline{x}_{t+1}=\frac{1}{m}\tilde{x}_{t+1}$，用其来表示预测的市场的平均收益率
然后$\lambda_{t+1}=\max\{0,\frac{\epsilon-b_t·\tilde{x}_{t+1}}{||\tilde{x}_{t+1}-\overline{x}_{t+1}||}\}$，这是一个更新的策略，即如果原有的$b_t$已经足够好（使得$b_t·\tilde{x}_{t+1}\geq \epsilon$）的话，那我们新的$b_{t+1}$就继续沿用我们的$b_t$就好了，只有在原有资产组合无法满足我们的阈值$\epsilon$的时候，我们才会考虑以

$$\frac{\epsilon-b_t·\tilde{x}_{t+1}}{||\tilde{x}_{t+1}-\overline{x}_{t+1}||}$$
这样的步长去生成一个新的解来满足我们的阈值。

emmm所以现在这个投资组合的更新策略应该还算清晰吧~

首先使用MAR-1或者MAR-2对未来的价比做出预判
接着我们使用PA学习策略更新我们的投资组合，即设定一个阈值$\epsilon$，当原有投资组合与今天预测的价比的乘积能够超过这个阈值的时候，我们就认为保留原有的投资组合不变，如果不能够超过这个阈值，我们就在原有的基础上进行修改(使用PA)，生成一个新的资产组合，使得新的资产组合与价比的乘积可以超过这个阈值

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RMR

为什么突然扯到RMR这个更新策略呢，因为OLMAR和RMR的想法确实没有太大区别， 他们最核心的不同是在于他们得到$\tilde{x}$的方式，还记得在OLMAR这个策略中我们预测$\tilde{x}_{t+1}$是使用了$MAR-1$和$MAR-2$这两种方式来预测价比，而在RMR中，我们则是使用了一个叫做$\mu=L1median$的数值来进行预测，$\mu$的表达式是：

$$\mu = arg \min \sum_{i=0}^{k-1}||p_{t-i}-\mu||$$
这个公式翻译成中文就是，找到一个价格向量 $\mu$，使得这个价格向量到从今天到前 $k-1$天的所有价格向量的欧氏距离最短（= =有点饶），大概就是找到一个价格向量能够代表近 $k$天的价格。然后用这个我们找到这个$\mu$比上我们今天的 $p_t$，即可得到 $\tilde{x}_{t+1}$

这是$\mu$的数学定义，但是我们在使用计算机求解$\mu$的数值解的时候用的是论文中所称的一种$T$方法，这个比较复杂我就不详细说明了。

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