【小白话通信】连续分布之间的关系

前面的文章《连续分布的产生》中，我主要讲述了用均匀分布生成各种连续分布的方法，其中的特殊方法都是利用分布之间的关系来生成的。那么，本文主要介绍连续分布之间的一些关系。

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伽马分布与泊松分布的关系

假设$X \sim gamma\left( {\alpha ,\beta } \right),Y \sim Poisson\left( {x/\beta } \right)$，当$\alpha$是整数的时候，下面等式成立：

$$P\left( {X \le x} \right) = P\left( {Y \ge \alpha } \right)$$

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伽马分布与卡方分布的关系

服从形状参数为$\alpha$，尺度参数为$\beta$的伽马分布的概率密度函数pdf可以表示为：

$$f\left( x \right) = \frac{{{x^{\left( {\alpha - 1} \right)}}{e^{\left( { - x/\beta } \right)}}}}{{\Gamma \left( \alpha \right){\beta ^\alpha }}}$$ 现在，我们假设 $\alpha=p/2$，其中 $p$是整数且$\beta=2$，那么此时的概率密度函数可以表示为： $$f\left( x \right) = \frac{{{x^{\left( {p/2 - 1} \right)}}{e^{\left( { - x/2} \right)}}}}{{\Gamma \left( {p/2} \right){2^{p/2}}}},0 < x < \infty$$ 显然，此时的概率密度函数 $pdf$服从自由度为 $p$的卡方分布的$pdf$。

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伽马分布与指数分布的关系

当伽马分布中的形式参数$\alpha=1$时，概率密度函数变为：

$$f\left( x \right) = \frac{{{e^{\left( { - x/\beta } \right)}}}}{\beta },0 < x < \infty$$ 显然，此时的概率密度函数就是参数为 $\beta$的指数分布密度函数的 $pdf$。

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韦伯分布与指数分布、瑞利分布的关系

比例参数为$\lambda$，形状参数为$k$的韦伯分布的概率密度函数为： $$f\left( x \right) = \frac{k}{\lambda }{\left( {\frac{x}{\lambda }} \right)^{k - 1}}{e^{ - {{\left( {x/\lambda } \right)}^k}}},x \ge 0$$ 当$\lambda=1$时，它是指数分布；当$\lambda=2$时，它是瑞利分布。

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贝塔分布与均匀分布的关系

参数为$\alpha,\beta$的贝塔分布的概率密度函数为：

$$f\left( x \right) = \frac{1}{{B\left( {\alpha ,\beta } \right)}}{x^{\alpha - 1}}{\left( {1 - x} \right)^{\beta - 1}},0 < x < 1,\alpha > 0,\beta > 0,B\left( {\alpha ,\beta } \right) = \frac{{\Gamma \left( \alpha \right)\Gamma \left( \beta \right)}}{{\Gamma \left( {\alpha + \beta } \right)}}$$ 当 $\alpha=\beta=1$时，此时退化成了区间在 $0到1$的均匀分布。

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正态分布与柯西分布的关系

位置参数为$x_0$，尺度参数为$\gamma$的柯西分布的概率密度函数为：

$$f\left( x \right) = \frac{1}{{\pi \gamma \left[ {1 + {{\left( {\frac{{x - {x_0}}}{\gamma }} \right)}^2}} \right]}}$$ 当 $x_0=0,\gamma=1$时则是标准柯西分布。

• 关系：两个标准正态分布函数的比值服从标准柯西分布。

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其它关系式

假设$U_j$是独立同分布于区间$0到1$的均匀分布，由文章《连续分布的产生》可以得到：$Y_i=-\lambda log(U_i)$是独立同分布于指数分布的随机变量。那么由指数分布与其它分布的关系推导得到如下的表达式：

$$\begin{array}{l} Y = - 2\sum\limits_{j = 1}^v {\log \left( {{U_j}} \right)} \sim \chi _{2v}^2\\ Y = - \beta \sum\limits_{j = 1}^\alpha {\log \left( {{U_j}} \right)} \sim gamma\left( {\alpha ,\beta } \right)\\ Y = \frac{{\sum\nolimits_{j = 1}^a {\log \left( {{U_j}} \right)} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^{a + b} {\log \left( {{U_j}} \right)} }} \sim beta\left( {a,b} \right) \end{array}$$
很显然，我们可以先通过均匀分布产生指数分布，然后利用指数分布与其它分布的关系来生成对应的分布。因此，知道分布之间的关系就很容易由已知的分布得到要求的分布。

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