《算经》中的百钱买百鸡问题，你会做吗？试下看看(39)

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今日主题

你知道我国历史上有个王朝叫北魏吗？

北魏（386年—534年），南北朝时期北朝的第一王朝。

也称“后魏”“拓跋魏”“元魏”，鲜卑族拓跋氏所建，传12帝（列入正史帝纪者）

你知道北魏王朝有个著名的数学家叫张丘建吗？

他从小聪明好学，酷爱算术。

一生从事数学研究，造诣很深。

“百鸡问题”是中古时期，关于不定方程正整数解的典型问题，邱建对此有精湛和独到的见解。

著有《张邱建算经》3卷。后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释。刘孝孙为算经撰了细草。

算经的体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份遗产。

你知道张丘建的代表作《算经》吗？

你知道《算经》中有个著名的数学问题叫百鸡百钱吗？

鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱。用100文钱，买100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

方程解法

如果上了初中，应该会学到方程，这个问题可以用方法来求解。

未知数称为元，未知数的幂称为次。

假设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只。

由题可得以下方程：

① x+y+z=100 （鸡的总数量为100只）

② 5x+3y+1/3z=100 （鸡的总价格为100文）

根据以上方程，可以得到以下解：

7x+4y=100

本质上是二元一次方程的整数解问题。

x大于等于0，小于等于20

y大于等于0，小于等于33

x=(100-4y)/7

y=(100-7x)/4

化简得x<=14 y<=25，然后x依次0~14逐一取值计算进行验证判断即可。

二元一次方程的整数解属于初中数学问题：

答案是3组

Python遍历解法

在Python编程中，通过穷举法的方式找出所有解法。

1. 枚举公鸡的数量x=0~20，步长为1。

2. 在枚举公鸡数量x的前提下，枚举母鸡的数量y=0~33，步长为1。

3. 根据x和y的值，计算出小鸡的数量z=100-x-y。

4. 判断当前三种鸡的数量是否符合条件，即5x+3y+z/3=100，如果符合，则输出当前解法。

for x in range(0, 21):    for y in range(0, 34):        z = 100 - x - y        if 5*x + 3*y + z/3 == 100:            print("公鸡：%d只，母鸡：%d只，小鸡：%d只" % (x, y, z))

公鸡：0只，母鸡：25只，小鸡：75只公鸡：4只，母鸡：18只，小鸡：78只公鸡：8只，母鸡：11只，小鸡：81只公鸡：12只，母鸡：4只，小鸡：84只

程序用了两层循环，其实还可以用一层循环，此时理解起来稍微麻烦些，但是运行效率会更高效一些。

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for x in range(0, 21):    y = 25 - 7*x/4    z = 75 + 3*x/4    if x%4==0 and y >=0:        print("公鸡：%d只，母鸡：%d只，小鸡：%d只" % (x, y, z))

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公鸡：0只，母鸡：25只，小鸡：75只公鸡：4只，母鸡：18只，小鸡：78只公鸡：8只，母鸡：11只，小鸡：81只公鸡：12只，母鸡：4只，小鸡：84只

穷举法

所谓穷举法，从可能得解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。

由于穷举法需要遍历所有元素，因此它的时间性能往往是最低的，指数级的时间开销往往都是采用穷举带来的，但是它依旧是很重要的算法设计思想。理论上，穷举法可以解决许多计算领域的问题（只要机器性能足够或者时间开销可承受）。

百钱买百鸡问题是一道经典的数学问题，通过方程解法和编程解法，可以找出所有符合条件的解法。

方程解法适用于小规模的问题，对于大规模的问题，可以使用编程解法进行计算。

编程解法使用穷举的方式，可以找出所有解法，但计算量较大，需要耗费一定时间和计算资源。

对于现在的计算机来说，这都不是事儿！

好了，我们今天就学到这里吧！

如果遇到什么问题，咱们多多交流，共同解决。

我是猫妹，咱们下次见！

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