动态规划

       动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。 举例： 线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等； 区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等； 树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等； 背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（ 同济ACM第1132题）等

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。 1. 最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 2. 无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。 3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的 搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

记忆化搜索   记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想

        记忆化搜索：算法上依然是搜索的流程，但是搜索到的一些解用 动态规划的那种思想和模式作一些保存。 一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。 更重要的是搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。 记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来， 以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。 这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的        

Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

原理

1.首先，引入一个辅助向量D，它的每个分量 D     表示当前所找到的 Dijkstra算法运行动画过程 从起始点     （即源点     ）到其它每个顶点     的长度。 例如，D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。 [1]   2.D的初始状态为：若从     到     有弧（即从     到     存在连接边），则D     为弧上的权值（即为从     到     的边的权值）；否则置D     为∞。 显然，长度为 D     = Min{ D |     ∈V } 的路径就是从     出发到顶点     的长度最短的一条路径，此路径为(     )。 3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点     到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点     到顶点     的最短路径长度。 假设该次短路径的终点是     ，则可想而知，这条路径要么是(     )，或者是(     )。它的长度或者是从     到     的弧上的权值，或者是D     加上从     到     的弧上的权值。 4.一般情况下，假设S为已求得的从源点     出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为     ）要么是弧(     )，或者是从源点     出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点     的路径。 因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D     = Min{ D     |     ∈V-S }，其中D     要么是弧(     )上的权值，或者是D     (     ∈S)和弧(     ,     )上的权值之和。 算法描述如下： 1）令arcs表示弧上的权值。若弧不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到的从     出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从     出发到图上其余各顶点     可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,     )]，     ∈V； 2）选择     ，使得D     =Min{ D |     ∈V-S } ； 3）修改从     出发的到集合V-S中任一顶点     的最短路径长度。 [1]  

问题描述

在 无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。 [2]  

算法思想

按路径长度 递增次序产生算法： 把顶点集合V分成两组： （1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0） （2）V-S=T：尚未确定的顶点集合 将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证： （1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度 （2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度 依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和 （ 反证法可证） 求最短路径步骤 算法步骤如下： G={V,E} 1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值 若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值 若不存在，d(V0,Vi)为∞ 2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中 3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值 重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

算法实现

下面是该算法的C语言实现 [1]  

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！