文章目录

• 1. 前置知识
• 2. 伴随算子
• 3. 再生核

1. 前置知识

设 $(X,(\cdot ,\cdot ))$ 是 $\mathbb{K}=\mathbb{R}or\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 上的内积空间，用X’表示其对偶空间，任意给定向量 $y\in X$ ,定义线性泛函 l y : X → K l_y:X\to\mathbb K ly​:X→K 为
l y ( x ) : = ( x , y ) ∈ K , ∀ x ∈ X l_y(x):=(x,y)\in\mathbb{K},\forall x\in X ly​(x):=(x,y)∈K,∀x∈X
是连续的且有
∣ ∣ l y ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ y ∣ ∣ ||l_y||_{X'}=||y|| ∣∣ly​∣∣X′​=∣∣y∣∣
(由直和定理有，在X为Hilbert空间时，其逆定理也成立。)

Hilbert空间的F.Riesz表示定理： 设 $(X,(\cdot ,\cdot ))$ 是 $\mathbb{K}=\mathbb{R}or\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 上的Hilbert空间，对任意给定的连续线性泛函 l ∈ X ∗ l\in X^* l∈X∗ 存在唯一的向量 y l ∈ X y_l \in X yl​∈X 使得对所有的 $x\in X$ 有 l ( x ) = ( x , y l ) , ∣ ∣ l ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ y l ∣ ∣ X l(x) = (x,y_l),||l||_{X'}=||y_l||_X l(x)=(x,yl​),∣∣l∣∣X′​=∣∣yl​∣∣X​

Hilbert空间的Hanh-Banach定理： 设 X 为 $\mathbb{K}=\mathbb{R}or\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 上的Hilbert空间，Y是X的子空间， $l:Y\to \mathbb{K}$ 是Y上的连续线性型，则存在连续线性型 l ~ : X → K \tilde{l}:X\to\mathbb{K} l~:X→K (这就是一个延拓)满足对所有的 $y\in Y$ 有
l ~ ( y ) = l ( y ) , ∣ ∣ l ~ ( y ) ∣ ∣ X ′ = ∣ ∣ l ( y ) ∣ ∣ Y ′ \tilde{l}(y) = l(y),||\tilde{l}(y)||_{X'} = ||l(y)||_{Y'} l~(y)=l(y),∣∣l~(y)∣∣X′​=∣∣l(y)∣∣Y′​
而且这样的延拓是唯一的。

2. 伴随算子

设 ( X , ( ⋅ , ⋅ ) X ) , ( Y , ( ⋅ , ⋅ ) Y ) (X,(\cdot,\cdot)_X) , (Y,(\cdot,\cdot)_Y) (X,(⋅,⋅)X​),(Y,(⋅,⋅)Y​) 为两个复Hilbert空间，给定算子 $A\in \mathcal{L}(X;Y)$

• 存在唯一的算子 A ∗ ∈ L ( Y ; X ) A^*\in\mathcal{L}(Y;X) A∗∈L(Y;X) ,称之为A的伴随算子 ，对所有的 $x\in X,y\in Y$ 有
  ( A x , y ) Y = ( x , A ∗ y ) X (Ax,y)_Y = (x,A^*y)_X (Ax,y)Y​=(x,A∗y)X​
  这样定义的映射 A ∈ L ( X ; Y ) → A ∗ ∈ L ( Y ; X ) A\in \mathcal{L}(X;Y)\to A^*\in\mathcal{L}(Y;X) A∈L(X;Y)→A∗∈L(Y;X) 是半线性的，而且
  ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ L ( Y ; X ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ L ( X ; Y ) ||A^*||_{\mathcal{L}(Y;X)} = ||A||_{\mathcal{L}(X;Y)} ∣∣A∗∣∣L(Y;X)​=∣∣A∣∣L(X;Y)​
• 有 ( I m A ) ⊥ = K e r A ∗ , ( I m A ∗ ) ⊥ = K e r A , Y = K e r A ∗ ⊕ I m A ‾ , X = K e r A ⊕ I m A ∗ ‾ (Im ~ A)^{\perp} = Ker ~A^*,(Im ~ A^*)^{\perp} = Ker ~A,~ Y=Ker ~ A^* \oplus \overline{Im~ A},~X=Ker ~ A \oplus \overline{Im~ A^*} (Im A)⊥=Ker A∗,(Im A∗)⊥=Ker A, Y=Ker A∗⊕Im A, X=Ker A⊕Im A∗

证明：

1. 对每个 $y\in Y$ , 由于 ∣ ∣ ( A x , y ) Y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||(Ax,y)_Y||\le||A||~||x||~||y|| ∣∣(Ax,y)Y​∣∣≤∣∣A∣∣ ∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣ （范数的特性嘛）对所有的 $x\in X$ 成立，因此 x ∈ X → ( A x , y ) y ∈ K x\in X \to (Ax,y)_y\in\mathbb{K} x∈X→(Ax,y)y​∈K 是连续线性泛函（按距离收敛嘛）
   在X上运用F.Riesz定理，有存在唯一的向量 A ∗ y ∈ X A^*y\in X A∗y∈X ,使得对一切的 $x\in X$ 有 ( A x , y ) Y = ( x , A ∗ y ) X (Ax,y)_Y=(x,A^*y)_X (Ax,y)Y​=(x,A∗y)X​
   这样定义的映射 A ∗ : Y → X A^*:Y\to X A∗:Y→X 是线性的。（可以验证）

线性算子 A ∗ A^* A∗ 连续，对任何 $y\in Y$ 有 ∣ ∣ A ∗ y ∣ ∣ 2 = ( A ∗ y , A ∗ y ) X = ( A A ∗ y , y ) Y ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∗ y ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||A^*y||^2 = (A^*y,A^*y)_X = (AA^*y,y)_Y\le ||A||~||A^*y||~||y|| ∣∣A∗y∣∣2=(A∗y,A∗y)X​=(AA∗y,y)Y​≤∣∣A∣∣ ∣∣A∗y∣∣ ∣∣y∣∣
所以有
∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||A^*||~||A^*||~||y||~||y||\le ||A||~||A^*||~||y||~||y|| ∣∣A∗∣∣ ∣∣A∗∣∣ ∣∣y∣∣ ∣∣y∣∣≤∣∣A∣∣ ∣∣A∗∣∣ ∣∣y∣∣ ∣∣y∣∣
因此有
∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ L ( Y ; X ) = s u p x ≠ 0 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ L ( X ; Y ) ||A^*||_{\mathcal{L}(Y;X)} = \mathop{sup}\limits_{x\not ={0}} \frac{||Ax||}{||y||}\le ||A||_{\mathcal{L}(X;Y)} ∣∣A∗∣∣L(Y;X)​=x​=0sup​∣∣y∣∣∣∣Ax∣∣​≤∣∣A∣∣L(X;Y)​

同理 ∀ x ∈ X , ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ A x ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ \forall x\in X,||Ax||^2 \le ||A^*||~||Ax||~||x|| ∀x∈X,∣∣Ax∣∣2≤∣∣A∗∣∣ ∣∣Ax∣∣ ∣∣x∣∣
有
∣ ∣ A ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ||A||\le||A^*|| ∣∣A∣∣≤∣∣A∗∣∣

夹逼定理嘛，他俩就相等了。

2. 有 ( I m A ) ⊥ = { y ∈ Y ; ∀ z ∈ I m A , ( y , z ) Y = 0 } = { y ∈ Y ; ∀ x ∈ X , ( y , A x ) Y = 0 } = { y ∈ Y ; ∀ x ∈ X , ( A ∗ y , x ) X = 0 } = K e r A ∗ (Im ~ A)^{\perp} = \{y\in Y;\forall z\in Im~ A,(y,z)_Y = 0\}\\ = \{y\in Y;\forall x\in X,(y,Ax)_Y = 0\} \\= \{y\in Y;\forall x\in X,(A^*y,x)_X = 0\} = Ker~~A^* (Im A)⊥={y∈Y;∀z∈Im A,(y,z)Y​=0}={y∈Y;∀x∈X,(y,Ax)Y​=0}={y∈Y;∀x∈X,(A∗y,x)X​=0}=Ker  A∗

( I m A ‾ ) ⊥ = I m A ⊥ (\overline{Im~A})^{\perp} = Im~A^\perp (Im A)⊥=Im A⊥

其他类似可得。

3. 再生核

设 $A$ 非空集合， $(X,(\cdot ,\cdot ))$ 为 $\mathbb{K}=\mathbb{R}or\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 上的Hilbert空间， 其元素为 $x:A\to \mathbb{K}$
设对每个 $a\in A,\exists C(a)\to 0$ 使得对任何的 $x\in X$ ,有
$$|x(a)|\le C(a)||x||$$
则存在函数 $K:A\times A\to \mathbb{K}$ ，即为X的再生核，使得对每个 $a\in A$ ，函数 $K(\cdot ,a):A\to K$ 是空间X的元素，对任何 $x\in X$ ，有 $x(a)=(x,K(\cdot ,a))$

由F.Riesz定理易得该结论。

这个再生核还有再生核希尔伯特空间都蛮常用的，不过这里只是简单的给出了定义，以后再来仔细研究。

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！