文章目录

• 1. 复数乘积和商的模
• 2. 复数的辐角
• 3. 复数的乘积与商的辐角

1. 复数乘积和商的模

设 z 1 z_1 z1​和 z 2 z_2 z2​为两个非零复数，则：
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ \left|z_{1}z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right| ∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|} ​z2​z1​​ ​=∣z2​∣∣z1​∣​

2. 复数的辐角

对于任意复数$z=x+iy$，总可以用三角函数与复数进行表示
z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) , z = r e i θ z=r(\cos \theta+i \sin \theta),z=re^{i\theta} z=r(cosθ+isinθ),z=reiθ
其中，$\theta$为$z$的无穷多幅角中的任意一个。
Arg ⁡ z = arg ⁡ z + 2 k π ( k = 0 , ± 1 ， ± 2 ， … ) arg ⁡ z = { arctan ⁡ y x , 当  x > 0 ; π 2 , 当  x = 0 , 且  y > 0 ;  − π 2 , 当  x = 0 , 且  y < 0 ;  arctan ⁡ y x + π , 当  x < 0 , 且  y ⩾ 0 ;  arctan ⁡ y x − π , 当  x < 0 , 且  y < 0 ;  \operatorname{Arg} z=\arg z+2 k \pi (k=0,±1，±2，…)\\ \arg z=\left\{\begin{array}{ll} \arctan \frac{y}{x}, & \text { 当 } x>0 ; \\ \frac{\pi}{2}, & \text { 当 } x=0, \text { 且 } y>0 \text {; } \\ -\frac{\pi}{2}, & \text { 当 } x=0, \text { 且 } y<0 \text {; } \\ \arctan \frac{y}{x}+\pi, & \text { 当 } x<0, \text { 且 } y \geqslant 0 \text {; } \\ \arctan \frac{y}{x}-\pi, & \text { 当 } x<0, \text { 且 } y<0 \text {; } \end{array}\right. Argz=argz+2kπ(k=0,±1，±2，…)argz=⎩ ⎨ ⎧​arctanxy​,2π​,−2π​,arctanxy​+π,arctanxy​−π,​ 当 x>0; 当 x=0, 且 y>0;  当 x=0, 且 y<0;  当 x<0, 且 y⩾0;  当 x<0, 且 y<0; ​

3. 复数的乘积与商的辐角

Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) = Arg ⁡ z 1 + Arg ⁡ z 2 Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) = Arg ⁡ z 1 − Arg ⁡ z 2 \operatorname{Arg} ({z_1z_2})=\operatorname{Arg} {z_1}+\operatorname{Arg} {z_2}\\ \operatorname{Arg} (\frac{z_1}{z_2})=\operatorname{Arg} {z_1}-\operatorname{Arg} {z_2} Arg(z1​z2​)=Argz1​+Argz2​Arg(z2​z1​​)=Argz1​−Argz2​

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