排队论简述及LINGO实现（2）——生灭过程

生灭过程

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基本概念

生灭过程说明的是$N(t)$随着时间$t$增加有怎样的变化，生在排队算法中表示新顾客进入系统，灭指顾客完成服务离开，生灭过程有以下几个假设：

• 假设$N(t)=n$ ,下一个顾客到达的概率遵循指数分布，参数为 λ n \lambda_n λn​
• 假设$N(t)=n$ ,下一个顾客服务完成的概率遵循指数分布，参数为 μ n \mu_n μn​
• 上述假设的随机变量互为独立的，下一个转移为两种情况二选一，取决于前者和后者随机变量中哪个更小

生灭过程表明该系统未来的状态仅取决于当前状态，故该系统无记忆性，是一种特殊的连续马尔科夫链。

生灭平衡

生灭平衡方程组

一般的，我们不关心系统在转移中的情况而想要知道系统平衡后各状态量的数值。对于生灭过程我们令

输入率 = 输出率

对于系统$n$任何状态有

平均输入率 = 平均输出率

此方程称为状态$n$的平衡方程，我们设初始概率为 P 0 P_0 P0​，将平衡方程式联立有：

输入率 = 输出率

μ 1 P 1 = λ 0 P 0 \mu_1P_1 = \lambda_0P_0 μ1​P1​=λ0​P0​

λ 0 P 0 + μ 2 P 2 = ( λ 1 + μ 1 ) P 1 \lambda_0P_0 + \mu_2P_2 = (\lambda_1+\mu_1)P_1 λ0​P0​+μ2​P2​=(λ1​+μ1​)P1​

$⋮$

λ n − 1 P n − 1 + μ n + 1 P n + 1 = ( λ n + μ n ) P n \lambda_{n-1}P_{n-1} + \mu_{n+1}P_{n+1} = (\lambda_n+\mu_n)P_n λn−1​Pn−1​+μn+1​Pn+1​=(λn​+μn​)Pn​

方程组求解

解得

P 2 = λ 1 λ 0 μ 2 μ 1 P 0 P_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_0}{\mu_2 \mu_1}P_0 P2​=μ2​μ1​λ1​λ0​​P0​

$⋮$

P n = λ n − 1 λ n − 2 ⋯ λ 0 μ n μ n − 1 ⋯ μ 1 P 0 P_n = \frac{\lambda_{n-1} \lambda_{n-2} \cdots \lambda_{0}}{\mu_{n} \mu_{n-1} \cdots \mu_1}P_0 Pn​=μn​μn−1​⋯μ1​λn−1​λn−2​⋯λ0​​P0​

令 C n = λ n − 1 λ n − 2 ⋯ λ 0 μ n μ n − 1 ⋯ μ 1 P 0 C_n = \frac{\lambda_{n-1} \lambda_{n-2} \cdots \lambda_{0}}{\mu_{n} \mu_{n-1} \cdots \mu_1}P_0 Cn​=μn​μn−1​⋯μ1​λn−1​λn−2​⋯λ0​​P0​

则 P n = C n P 0 P_n = C_n P_0 Pn​=Cn​P0​

因有 ∑ P n = 1 \sum P_n = 1 ∑Pn​=1

解得 P 0 = ( ∑ C n ) − 1 P_0 = (\sum{C_n})^{-1} P0​=(∑Cn​)−1

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