陶哲轩实分析 5.4 节习题试解（5.4.5—5.4.8）

陶哲轩实分析 5.4 节习题试解

5.4.5 给定任意两个实数 $x < y$，可以找到一个比例数 $q$，使得 $x < q < y$

反证法：假设不存在比例数 $q$ 满足 $x < q < y$。
那么对任意的比例数 $q$ 都有 $q \leq x$ 或 $q \geq y$。

另外，由于 $x < y$，所以存在比例数 $\varepsilon >0$ 满足 $\varepsilon < y - x$

分 $q$ 情况讨论：
当 $q \leq x$ 时。

$$0 \leq \frac{3 (x - q)}{\varepsilon}$$
是一个正的实数。所以存在一个整数 $N$ 满足：
$$N \leq \frac{3 (x - q)}{\varepsilon} < N + 1$$
因此：

$$q + \frac{N \varepsilon}{3} \leq x < q + \frac{(N+1) \varepsilon}{3}\\ $$

设 $q' = q + (N+1) \varepsilon / 3$
那么 $q'$ 是比例数。

$$\begin{eqnarray}y-q' &=& y - \left(q + \frac{(N+1) \varepsilon}{3}\right) \\&=& y - \left(q + \frac{N \varepsilon}{3}\right) - \frac{\varepsilon}{3}\\&\geq& y - x - \frac{\varepsilon}{3} \\&>& \varepsilon - \frac{\varepsilon}{3} \\&=& \frac{2 \varepsilon}{3} \\&>& 0\end{eqnarray}$$
所以 $x < q' < y$ 与 $q > y$ 或 $q < x$ 矛盾。

当 $q \geq y$ 时。

$$0 \leq \frac{3 (q - y)}{\varepsilon}$$
是一个正的实数。所以存在一个整数 $N$ 满足：
$$N \leq \frac{3 (q - y)}{\varepsilon} < N + 1$$
因此：

$$q - \frac{(N+1) \varepsilon}{3} < y \leq q - \frac{N \varepsilon}{3}\\ $$

设 $q' = q - (N+1) \varepsilon / 3$
那么 $q'$ 是比例数。

$$\begin{eqnarray} q'-x &=& \left(q - \frac{(N+1) \varepsilon}{3}\right) -x \\&=&\left(q - \frac{N \varepsilon}{3}\right) - \frac{\varepsilon}{3} - x\\&\geq& y - x - \frac{\varepsilon}{3} \\&>& \varepsilon - \frac{\varepsilon}{3} \\&=& \frac{2 \varepsilon}{3} \\&>& 0\end{eqnarray}$$
所以 $x < q' < y$ 与 $q > y$ 或 $q < x$ 矛盾。
所以给定任意两个实数 $x < y$，可以找到一个比例数 $q$，使得 $x < q < y$

5.4.6 设 $x, y$ 是实数，$\varepsilon > 0$ 是正实数，证明：

|x−y|<ε 当且仅当 y−ε<x<y+ε $$|x - y| < \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$$
并且：
|x−y|≤ε 当且仅当 y−ε≤x≤y+ε $$|x - y| \leq \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon \leq x \leq y + \varepsilon$$

（1）先证明 |x−y|<ε 当且仅当 y−ε<x<y+ε $|x - y| < \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$

分情况讨论：
当 $x \geq y$ 时，$|x - y| = x - y$

$$|x - y| < \varepsilon \\ \Rightarrow x - y < \varepsilon \\ \Rightarrow y \leq x < y + \varepsilon \\ \Rightarrow y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$$

当 $x < y$ 时，$|x - y| = y - x$

$$|x - y| < \varepsilon \\ \Rightarrow y - x < \varepsilon \\ \Rightarrow y - \varepsilon < x < y \\ \Rightarrow y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$$

综合上面两种情况，都有 |x−y|<ε 当且仅当 y−ε<x<y+ε $|x - y| < \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon < x < y + \varepsilon$

（2）证明 |x−y|≤ε 当且仅当 y−ε≤x≤y+ε $|x - y| \leq \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon \leq x \leq y + \varepsilon$

分情况讨论：
当 $x \geq y$ 时，$|x - y| = x - y$

$$|x - y| \leq \varepsilon \\ \Rightarrow x - y \leq \varepsilon \\ \Rightarrow y \leq x \leq y + \varepsilon \\ \Rightarrow y - \varepsilon \leq x \leq y + \varepsilon$$

当 $x < y$ 时，$|x - y| = y - x$

$$|x - y| \leq \varepsilon \\ \Rightarrow y - x \leq \varepsilon \\ \Rightarrow y - \varepsilon \leq x < y \\ \Rightarrow y - \varepsilon \leq x \leq y + \varepsilon$$

综合上面两种情况，都有 |x−y|<ε 当且仅当 y−ε≤x≤y+ε $|x - y| < \varepsilon \ 当且仅当 \ y - \varepsilon \leq x \leq y + \varepsilon$

5.4.7 设 $x, y$ 是实数。证明 $x \leq y + \varepsilon$ 对于一切实数 $\varepsilon > 0$ 成立，当且仅当 $x \leq y$。证明 $|x - y| \leq \varepsilon$ 对于一切实数 $\varepsilon > 0$ 成立，当且仅当 $x = y$。

（1）证明 $x \leq y + \varepsilon$ 对于一切实数 $\varepsilon > 0$ 成立，当且仅当 $x \leq y$。
先证明 $x \leq y \Rightarrow x \leq y + \varepsilon$
如果 $x \leq y$
那么 $y - x \geq 0$
那么 $y + \varepsilon - x \geq 0$
那么 $x \leq y + \varepsilon$
再证明 $x \leq y + \varepsilon \Rightarrow x \leq y$
反证法：假设有实数 $x > y$ 满足 $x \leq y + \varepsilon$
设 $q = x - y > 0$
那么 $x = y + q$
那么对于 $\varepsilon = q/ 2 > 0$
有 $x - (y + \varepsilon) = \varepsilon > 0$
所以 $x > y + \varepsilon$ 与题设矛盾。所以 $x \leq y + \varepsilon \Rightarrow x \leq y$
所以 $x \leq y + \varepsilon \Leftrightarrow x \leq y$

（2）证明 $|x - y| \leq \varepsilon$ 对于一切实数 $\varepsilon > 0$ 成立，当且仅当 $x = y$。
先证明 $x = y \Rightarrow |x - y| \leq \varepsilon$
因为 $x = y$
所以 $x - y = 0$
所以 $|x - y| = 0 \leq \varepsilon$

再证明 $|x - y| \leq \varepsilon \Rightarrow x = y$
反证法：假设存在 $x \neq y$ 也满足 $|x - y| \leq \varepsilon$
不妨设 $x > y$，那么 $q = x - y > 0$
取 $\varepsilon = q/2 > 0$
那么 $|x - y| = x - y = 2 \varepsilon > \varepsilon$
与 $|x - y| \leq \varepsilon$ 矛盾。
所以 $|x - y| \leq \varepsilon \Rightarrow x = y$
综上所述：$|x - y| \leq \varepsilon \Leftrightarrow x = y$

5.4.8

证明如果对于一切的 $n \geq 1$ 有 $a_n \leq x$，那么

$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n \leq x$$
证明如果对于一切的 $n \geq 1$ 有 $a_n \geq x$，那么
$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n \geq x$$

（1）证明如果对于一切的 $n \geq 1$ 有 $a_n \leq x$，那么

$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n \leq x$$
反证法：
假设有一个比例数 Cauchy 序列 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n$ 和一个实数 $x$ 满足：
$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n > x$$
那么 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}(a_n - x)> 0$
也就是说 $\{a_n - x\}$ 是终极正限制离开 $0$ 序列。
所以存在一个 $N$ 当 $n > N$ 时，有 $a_n > x$
这与 $a_n \leq x$ 矛盾。所以不存在这样的比例数 Cauchy 序列 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n$ 和实数 $x$。

（2）证明如果对于一切的 $n \geq 1$ 有 $a_n \geq x$，那么
$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n \geq x$$
反证法：
假设有一个比例数 Cauchy 序列 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n$ 和一个实数 $x$ 满足：
$$\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n < x$$
那么 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}(a_n - x)< 0$
也就是说 $\{a_n - x\}$ 是终极负限制离开 $0$ 序列。
所以存在一个 $N$ 当 $n > N$ 时，有 $a_n < x$
这与 $a_n \geq x$ 矛盾。所以不存在这样的比例数 Cauchy 序列 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty}a_n$ 和实数 $x$。

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