关于 mmWave MIMO 和 IRS 的结合

参考文献：《Intelligent Reflecting Surface-Assisted Millimeter Wave Communications: Joint Active and Passive Precoding Design》

一点想法

之前一直在想将自己看过的毫米波通信与 IRS 有机结合起来做点小工作，发个小论文。但是由于毫米波的特点，好像结合起来不是那么直接。
成电这篇文章刚好作为一个启发。

毫米波通信以其丰富的频谱资源，能够支持千兆比特的无线接入。然而，

• 严重的路径损耗
• 较高的指向性
• 有限的信道秩

使其易受阻塞事件的影响，在室内密集的城市环境中，阻塞事件较为频繁。 为了解决这一问题，引入了 IRS 来提供有效反射路径以增强 mmWave 信号覆盖。

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由于 mmWave 信号的波束宽度较窄，一个非常小的障碍物，比如一个人的手臂，就可以有效地阻断链路。为了解决这个问题，在之前的一些工作中，采用继电器来克服阻塞问题，提高 mmWave 信号的覆盖率。

智能反射面 IRS 是近年来提出的一种很有前途的新技术，通过软件控制反射来实现智能的、可编程的无线传输环境。具体来说，IRS 是由一种新开发的超材料制成的平面阵列，由大量可重构的无源元件组成。在智能微控制器的帮助下，每个元件都可以独立地反射入射信号，实现信号的可重构振幅和相移。通过巧妙地调整无源元件的相移，反射信号

• 可以在期望的接收端相干地增加信号功率
• 也可以在非期望的接收端破坏性地抑制干扰。

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• 近年来，基于 IRS 的无线通信受到了广泛的关注。在 IRS 辅助系统中，一个关键问题是联合优化波束形成矢量和反射系数，目标是使接收信号功率最大化。

• 在基于 OFDM 的通信系统中也考虑了类似的问题，其目标是使可达速率最大化。研究了下行多用户场景下的 BS-IRS 联合优化问题。

• 无人机通信与无线功率传输系统。

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受前面令人鼓舞的结果的启发，在本文中考虑了一个场景，其中部署多个 IRS 来辅助下行 mmWave 通信。研究了一种联合有源和无源预编码设计问题，其目标是通过联合优化发射预编码矢量和 IRS 用于无源波束形成的相移参数来最大限度地提高接收信号的功率。
然而这种有源和无源的联合预编码问题是非凸的，在以前的工作中已经研究过用于传统微波通信系统，其中部署了一个 IRS 来帮助从BS到用户的数据传输。
其他论文中，该非凸问题被松弛为一个凸半定规划 SDP 问题。然而，所提出的方法是次优的，没有一个解析解。此外，求解 SDP 问题通常需要较高的计算复杂度。

在本文中，我们将从 mmWave 通信的角度重新讨论这个联合有源和无源波束形成问题。结果表明，利用 mmWave 信道的一些重要特性，特别是 BS-IRS 信道的 rank-one 结构，可以得到单个 IRS 情况下的最优闭型解，同时也可以得到多个 IRS 情况下的最优解析解。

我们注意到，BS-IRS 信道的 rank-one 结构 也被用于 IRS 辅助的多用户系统，其中通过忽略 BS 和用户之间的链路来获得单用户设置的最优解。与其不同，我们的解决方案是通过假设存在 BS-用户链路推导出来的，我们还将联合有源和无源预编码解决方案扩展到多 IRS 场景。

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模型

BS: $N$ 天线
IRS: $M$ 单元
User: 单天线用户

BS-IRS: G ∈ C M × N \bm G \in \mathbb C^{M \times N} G∈CM×N
BS-User: h d ∈ C N \bm h_d \in \mathbb C^{N} hd​∈CN
IRS-User: h r ∈ C M \bm h_r \in \mathbb C^{M} hr​∈CM

假设有 $K$ 个 IRS，则 G k , h r k \bm G_k, \bm h_{rk} Gk​,hrk​。
diagonal phase shift matrices： Θ k = diag ⁡ ( e j θ k , 1 , … , e j θ k , M ) ∀ k \bm\Theta_{k}=\operatorname{diag}\left(e^{j \theta_{k, 1}}, \ldots, e^{j \theta_{k, M}}\right) \quad \forall k Θk​=diag(ejθk,1​,…,ejθk,M​)∀k

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问题

y = ( ∑ k = 1 K h r k H Θ k G k + h d H ) w s + ϵ y=\left(\sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w} s+\epsilon y=(k=1∑K​hrk​H​Θk​Gk​+hdH​)ws+ϵ
其中 $s$ 是传输信号建模为一个零均值和单位方差的随机变量；$ϵ$ 是加性高斯白噪声，零均值和方差 σ 2 \sigma^2 σ2。
在很多文章中一直有这句话出现：在上面的模型中，由于 mmWave 传输的高路径损耗，被 IRS 反射两次或两次以上的信号将被忽略。
因此，在用户处接收到的信号功率为
γ = ∣ ( ∑ k = 1 K h r k H Θ k G k + h d H ) w ∣ 2 \gamma=\left|\left(\sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} γ=∣∣∣∣∣​(k=1∑K​hrk​H​Θk​Gk​+hdH​)w∣∣∣∣∣​2

优化问题为
max ⁡ w , { Θ k } ∣ ( ∑ k K h r k H Θ k G k + h d H ) w ∣ 2 s.t.  ∥ w ∥ 2 2 ≤ p Θ k = diag ⁡ ( e j θ k , 1 , … , e j θ k , M ) ∀ k \begin{aligned} \max _{\boldsymbol{w},\left\{\boldsymbol{\Theta}_{k}\right\}} &\left|\left(\sum_{k}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ \text { s.t. } &\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p \\ & \boldsymbol{\Theta}_{k}=\operatorname{diag}\left(e^{j \theta_{k, 1}}, \ldots, e^{j \theta_{k, M}}\right) \quad \forall k \end{aligned} w,{Θk​}max​ s.t. ​∣∣∣∣∣​(k∑K​hrk​H​Θk​Gk​+hdH​)w∣∣∣∣∣​2∥w∥22​≤pΘk​=diag(ejθk,1​,…,ejθk,M​)∀k​

思路

和前面的优化工作不同，在本文中，我们将利用 mmWave 信道的一些重要特性，从 mmWave 通信的角度重新探讨这个联合优化问题。

• 测量实验表明 mmWave LOS 路径的功率比 NLOS 路径的功率总和要高得多，大约高13dB。考虑到这一事实，我们希望确保 BS 和每个 IRS 之间的信道以 LOS 为主。
• 在实际中，通过了解 BS 的位置，可以正确安装 IRS，以便在 BS 和每个 IRS 之间有一个 LOS 路径。
• 因此，可以合理地假设从 BS 到每个 IRS 的信道可以近似为秩 1 矩阵。

G k = λ k a k b k T , ∀ k \boldsymbol{G}_{k}=\lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k} \boldsymbol{b}_{k}^{T}, \quad \forall k Gk​=λk​ak​bkT​,∀k
其中 a k \boldsymbol{a}_{k} ak​ 和 b k \boldsymbol{b}_{k} bk​ 表示归一化阵列响应向量。

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single-IRS

这里用到了

• 对角矩阵乘法变换： a T ⋅ diag ( b ) ⋅ C = b T ⋅ diag ( a T ) ⋅ C \bm a^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm b) \cdot \bm C =\bm b^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm a^{\sf T})\cdot \bm C aT⋅diag(b)⋅C=bT⋅diag(aT)⋅C。
• 变体用到了哈达玛积： a T ⋅ diag ( b ) ⋅ c = b T ⋅ diag ( a T ) ⋅ c = b T ⋅ ( a ⊙ c ) \bm a^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm b) \cdot \bm c =\bm b^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm a^{\sf T})\cdot \bm c=\bm b^{\sf T} \cdot (\bm a \odot \bm c) aT⋅diag(b)⋅c=bT⋅diag(aT)⋅c=bT⋅(a⊙c)。
• 一个不等式关系： ∣ a e j α + b e j β ∣ 2 ≤ ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + 2 ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ \vert a e^{j\alpha}+b e^{j\beta} \vert ^2 \leq \vert a\vert^2 +\vert b \vert^2+2\vert a\vert \cdot \vert b\vert ∣aejα+bejβ∣2≤∣a∣2+∣b∣2+2∣a∣⋅∣b∣。当 $\alpha =\beta$ 时等号成立，由于 ∣ a e j α + b e j β ∣ 2 = a 2 + b 2 + 2 a b cos ⁡ ( α − β ) \vert a e^{j\alpha}+b e^{j\beta} \vert ^2 =a^2+b^2+2ab\cos(\alpha-\beta) ∣aejα+bejβ∣2=a2+b2+2abcos(α−β)。

推出
∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ∣ 2 = ∣ λ h r H Θ a b T w + h d H w ∣ 2 = ( a ) ∣ η θ T g + h d H w ∣ 2 = ( b ) ∣ η θ ‾ T g e j α + h d H w ∣ 2 ≤ ( c ) ∣ η θ ‾ T g ∣ 2 + ∣ h d H w ∣ 2 + 2 ∣ η θ ‾ T g ∣ ⋅ ∣ h d H w ∣ \begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} &=\left|\lambda \boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm a \bm b^{T} \boldsymbol{w}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(a)}{=}\left|\eta \boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{g}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(b)}{=}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(c)}{ \leq}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned} ∣∣∣​(hrH​ΘG+hdH​)w∣∣∣​2​=∣∣∣​λhrH​ΘabTw+hdH​w∣∣∣​2=(a)∣∣∣​ηθTg+hdH​w∣∣∣​2=(b)∣∣∣​ηθTgejα+hdH​w∣∣∣​2≤(c)​∣∣∣​ηθTg∣∣∣​2+∣∣∣​hdH​w∣∣∣​2+2∣∣∣​ηθTg∣∣∣​⋅∣∣∣​hdH​w∣∣∣​​
其中
η ≜ b T w , g ≜ λ ( h r ∗ ⊙ a ) θ ≜ [ e j θ 1 … e j θ M ] T = θ ‾ e j α \begin{aligned} \eta &\triangleq \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{w}, \quad \boldsymbol{g} \triangleq \lambda\left(\boldsymbol{h}_{r}^{*} \odot \boldsymbol{a}\right) \\ \boldsymbol{\theta} &\triangleq\left[e^{j \theta_{1}} \ldots e^{j \theta_{M}}\right]^{T} =\overline{\boldsymbol{\theta}} e^{j \alpha} \end{aligned} ηθ​≜bTw,g≜λ(hr∗​⊙a)≜[ejθ1​…ejθM​]T=θejα​
可以看出，不等式上界就是取等号：
∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ∣ 2 ≤ ( c ) ∣ η θ ‾ T g ∣ 2 + ∣ h d H w ∣ 2 + 2 ∣ η θ ‾ T g ∣ ⋅ ∣ h d H w ∣ \begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} & \stackrel{(c)}{ \leq}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned} ∣∣∣​(hrH​ΘG+hdH​)w∣∣∣​2​≤(c)​∣∣∣​ηθTg∣∣∣​2+∣∣∣​hdH​w∣∣∣​2+2∣∣∣​ηθTg∣∣∣​⋅∣∣∣​hdH​w∣∣∣​​
此时有 η θ ‾ T g e j α \eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha} ηθTgejα 与 h d H w \boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w} hdH​w 的相位相等：总能找到一个参数 $\alpha$，使得 angle ( η θ ‾ T g e j α ) = angle ( h d H w ) \text{angle}(\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha}) = \text{angle}(\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}) angle(ηθTgejα)=angle(hdH​w)。也就是说，总是存在一个参数 $\alpha$，使得问题
优化等价：
max ⁡ ∣ ( h r H Θ G + h d H ) w ∣ 2 ≜ max ⁡ ∣ η θ ‾ T g ∣ 2 + ∣ h d H w ∣ 2 + 2 ∣ η θ ‾ T g ∣ ⋅ ∣ h d H w ∣ \max \quad \begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} \triangleq \max \quad \left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned} max∣∣∣​(hrH​ΘG+hdH​)w∣∣∣​2≜max∣∣∣​ηθTg∣∣∣​2+∣∣∣​hdH​w∣∣∣​2+2∣∣∣​ηθTg∣∣∣​⋅∣∣∣​hdH​w∣∣∣​​
则问题是
max ⁡ w , θ ‾ ∣ η θ ‾ T g ∣ 2 + ∣ h d H w ∣ 2 + 2 ∣ η θ ‾ T g ∣ ⋅ ∣ h d H w ∣ s.t.  ∥ w ∥ 2 2 ≤ p \begin{array}{ll}{\underset{\boldsymbol{w}, \overline{\boldsymbol{\theta}}}{\max}} & {\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|} \\ {\text { s.t. }} & {\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p}\end{array} w,θmax​ s.t. ​∣∣∣​ηθTg∣∣∣​2+∣∣∣​hdH​w∣∣∣​2+2∣∣∣​ηθTg∣∣∣​⋅∣∣∣​hdH​w∣∣∣​∥w∥22​≤p​
能够得出这样的结论：active beamforming 与 passive beamforming 的优化可以分离，不再耦合。
max ⁡ θ ‾ ∣ θ ‾ T g ∣ s.t.  θ ‾ = [ e j θ ‾ 1 … e j θ ‾ M ] T \begin{array}{cl}{\max _{\overline{\bm \theta}}} & {\left|\overline{ \bm \theta}^{T} \bm g\right|} \\ {\text { s.t. }} & { \overline{\bm \theta}=\left[e^{j \overline{\theta}_{1}} \ldots e^{j \overline{\theta}_{M}}\right]^{T}}\end{array} maxθ​ s.t. ​∣∣∣​θTg∣∣∣​θ=[ejθ1​…ejθM​]T​
很明显，相位相反时是最大值
θ ‾ ⋆ = [ e − j arg ⁡ ( g 1 ) … e − j arg ⁡ ( g M ) ] T ⟹ ∥ g ∥ 1 = ∑ i ∣ g i ∣ \overline{\boldsymbol{\theta}}^{\star}=\left[\begin{array}{lll}{e^{-j \arg \left(g_{1}\right)}} & {\ldots} & {\left.e^{-j \arg \left(g_{M}\right)}\right]^{T}}\end{array}\right. \Longrightarrow \\ \| \bm g\|_{1} = \sum_i \vert g_i\vert θ⋆=[e−jarg(g1​)​…​e−jarg(gM​)]T​⟹∥g∥1​=i∑​∣gi​∣
到现在才隐约感觉到公式里的 $|\cdot |$ 表示取复数的模。

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接下来自然就是固定 θ ‾ \overline{\boldsymbol{\theta}} θ，求解其余优化变量：

max ⁡ w , α ∣ ( e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ) w ∣ 2 s.t.  ∥ w ∥ 2 2 ≤ p \begin{array}{cl}{\max _{\boldsymbol{w}, {\alpha}}} & {\left|\left(e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2}} \\ {\text { s.t. }} & {\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p}\end{array} maxw,α​ s.t. ​∣∣∣​(ejαhrH​Θ⋆G+hdH​)w∣∣∣​2∥w∥22​≤p​
对于固定的 $\alpha$，预编码的优化就是 maximum ratio transmission (MRT) solution：
w ⋆ = p ( e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ) H ∥ e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ∥ 2 \boldsymbol{w}^{\star}=\sqrt{p} \frac{\left(e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm\Theta}^{\star} \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right)^{H}}{\left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}} w⋆=p ​∥∥∥​ejαhrH​Θ⋆G+hdH​∥∥∥​2​(ejαhrH​Θ⋆G+hdH​)H​
其中
∥ x ∥ 2 = ∑ i x i 2 \|\mathbf{x}\|_{2}=\sqrt{\sum_{i } x_{i}^{2}} ∥x∥2​=i∑​xi2​ ​

代入公式，最后
max ⁡ α ∥ e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ∥ 2 2 \max _{\alpha} \quad\left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} αmax​∥∥∥​ejαhrH​Θ⋆G+hdH​∥∥∥​22​
向量二范数等价于内积的平方根
∥ e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ∥ 2 2 = ⟨ e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H , e j α h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ⟩ \left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} = {\left\langle e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} , \ e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \right\rangle } ∥∥∥​ejαhrH​Θ⋆G+hdH​∥∥∥​22​=⟨ejαhrH​Θ⋆G+hdH​, ejαhrH​Θ⋆G+hdH​⟩

只要保证 e j α h r H Θ ‾ ⋆ G e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} ejαhrH​Θ⋆G 和 h d H \boldsymbol{h}_{d}^{H} hdH​ 的方向一致：
e j α h r H Θ ‾ ⋆ G = μ h d H e j α ( h r H Θ ‾ ⋆ G ) ( h r H Θ ‾ ⋆ G ) H = μ ′ e j α = μ h d H ( h r H Θ ‾ ⋆ G ) H \begin{aligned} e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} &= \mu \boldsymbol{h}_{d}^{H} \\ e^{j \alpha} \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}\right) \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}\right) ^{H}&= \mu'e^{j \alpha} \\ &= \mu\boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} \end{aligned} ejαhrH​Θ⋆Gejα(hrH​Θ⋆G)(hrH​Θ⋆G)H​=μhdH​=μ′ejα=μhdH​(hrH​Θ⋆G)H​

所以存在关系
e j α = γ h d H ( h r H Θ ‾ ⋆ G ) H = γ h d H G H Θ ‾ ⋆ H h r α = arg ⁡ ( h d H ( h r H Θ ‾ ⋆ G ) H ) = − arg ⁡ ( h r H Θ ‾ ⋆ G h d ) = − arg ⁡ ( λ h r H Θ ‾ ⋆ a b H h d ) = − arg ⁡ ( λ θ ‾ ⋆ T ( h r ∗ ⊙ a ) b H h d ) = − arg ⁡ ( ( θ ‾ ⋆ T g ) b H h d ) = − arg ⁡ ( b H h d ) \begin{aligned} e^{j \alpha} &= \gamma \boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} = \gamma \boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{G}^{H} {\overline{\bm \Theta}^{\star}}^{H} \boldsymbol{h}_{r} \\ \alpha &= \arg \left( \boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} \right) = - \arg \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &= - \arg \left( \lambda \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{ab}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &=- \arg \left( \lambda {\overline{\bm \theta}^{\star}}^{T} \left( \boldsymbol{h}_{r}^{\ast} \odot \boldsymbol{a} \right){\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) =- \arg \left( \left( {\overline{\bm \theta}^{\star}}^{T} \boldsymbol{g} \right){\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &=- \arg \left( {\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \end{aligned} ejαα​=γhdH​(hrH​Θ⋆G)H=γhdH​GHΘ⋆Hhr​=arg(hdH​(hrH​Θ⋆G)H)=−arg(hrH​Θ⋆Ghd​)=−arg(λhrH​Θ⋆abHhd​)=−arg(λθ⋆T(hr∗​⊙a)bHhd​)=−arg((θ⋆Tg)bHhd​)=−arg(bHhd​)​
最后得到
Θ ⋆ = e α ⋆ Θ ‾ ⋆ \bm\Theta^{\star}=e^{\alpha^{\star}} \overline{\bm\Theta}^{\star} Θ⋆=eα⋆Θ⋆

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推导平均接收功率与 M 的关系：
已知
h r ∼ C N ( 0 , ϱ r 2 I ) , h d ∼ C N ( 0 , ϱ d 2 I ) G = N M ρ a b T \begin{aligned} \boldsymbol{h}_{r} &\sim \mathcal{CN}\left(0, \varrho_{r}^{2} \boldsymbol{I}\right), \quad \boldsymbol{h}_{d} \sim \mathcal{CN}\left(0, \varrho_{d}^{2} \boldsymbol{I}\right) \\ \bm G &=\sqrt{N M} \rho \bm {a b}^{T} \end{aligned} hr​G​∼CN(0,ϱr2​I),hd​∼CN(0,ϱd2​I)=NM ​ρabT​

且 b H b = 1 \bm b^H \bm b = 1 bHb=1，则
∥ e j α ⋆ h r H Θ ‾ ⋆ G + h d H ∥ 2 2 = ∥ z e j α ⋆ b T + h d H ∥ 2 2 = z 2 + 2 ∣ z ∣ ∣ b T h d ∣ + h d H h d \begin{array}{l}{\qquad \begin{aligned}\left\|e^{j \alpha^{\star}} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} &=\left\|z e^{j \alpha^{\star}} \boldsymbol{b}^{T}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} \\ &=z^{2}+2|z|\left|\boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{h}_{d}\right|+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{h}_{d} \end{aligned}} \end{array} ∥∥∥​ejα⋆hrH​Θ⋆G+hdH​∥∥∥​22​​=∥∥∥​zejα⋆bT+hdH​∥∥∥​22​=z2+2∣z∣∣∣∣​bThd​∣∣∣​+hdH​hd​​​

在这里，应该存在关系： a ( θ ) = 1 M [ e − ȷ 2 π d λ θ i ] i ∈ I ( M ) \bm a(\theta)=\frac{1}{\sqrt{ M}}\left[e^{-\jmath \frac{2 \pi d}{\lambda} \theta_i}\right]_{i \in \mathcal{I}\left( M\right)} a(θ)=M ​1​[e−ȷλ2πd​θi​]i∈I(M)​。所以过程为：
ρ h r H Θ ‾ ⋆ a = ∥ ρ ( h r ∗ ⊙ a ) ∥ 1 = 1 M ∣ ρ ∣ ∥ h r ∥ 1 z ≜ N M ρ h r H Θ ‾ ⋆ a = N ∣ ρ ∣ ⋅ ∥ h r ∥ 1 \rho \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{a}=\left\|\rho\left(\boldsymbol{h}_{r}^{*} \odot \boldsymbol{a}\right)\right\|_{1}=\frac{1}{\sqrt{M}}|\rho|\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1} \\ \\ {\qquad z \triangleq \sqrt{N M} \rho \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{a}=\sqrt{N}|\rho| \cdot\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1}} ρhrH​Θ⋆a=∥ρ(hr∗​⊙a)∥1​=M ​1​∣ρ∣∥hr​∥1​z≜NM ​ρhrH​Θ⋆a=N ​∣ρ∣⋅∥hr​∥1​

求平均功率
γ ⋆ = E [ z 2 + 2 ∣ z ∣ ∣ b T h d ∣ + h d H h d ] \gamma^{\star}=\mathbb{E}\left[z^{2}+2|z|\left|\boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{h}_{d}\right|+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{h}_{d}\right] γ⋆=E[z2+2∣z∣∣∣∣​bThd​∣∣∣​+hdH​hd​]
求期望过程参考 https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53214966。
原理是
E ∣ X ∣ = ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ 1 2 π e − x 2 2 d x = 2 ∫ − ∞ + ∞ ∣ x 2 ∣ 1 2 π e − ( x 2 ) 2 d ( x 2 ) = 2 1 2 π ⋅ 2 ∫ 0 + ∞ x 2 e − ( x 2 ) 2 d ( x 2 ) = 2 π E|X| = \int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}|x| \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ = 2\int_{-\infty}^{+\infty}|\frac{x}{\sqrt 2}| \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-(\frac{x}{\sqrt 2})^2}d(\frac{x}{\sqrt 2})\\ = 2 \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\cdot 2\int_0^{+\infty}\frac{x}{\sqrt 2}e^{-(\frac{x}{\sqrt 2})^2}d(\frac{x}{\sqrt 2})=\sqrt {\frac{2}{\pi}} E∣X∣=∫−∞+∞​∣x∣f(x)dx=∫−∞+∞​∣x∣2π ​1​e−2x2​dx=2∫−∞+∞​∣2 ​x​∣2π ​1​e−(2 ​x​)2d(2 ​x​)=22π ​1​⋅2∫0+∞​2 ​x​e−(2 ​x​)2d(2 ​x​)=π2​ ​

所以得到
E [ ∣ h r m ∣ ] = 2 π ϱ r Var ⁡ [ ∣ h r m ∣ ] = ( 1 − 2 π ) ϱ r 2 E [ ∣ h r m ∣ 2 ] = Var ⁡ [ ∣ h r m ∣ ] + ( E [ ∣ h r m ∣ ] ) 2 = Var ⁡ [ h r m ] + ( E [ h r m ] ) 2 = ϱ r 2 \begin{array}{c}{\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]={\sqrt{\frac {2}{\pi}} \varrho_{r}} } \\ {\operatorname{Var}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]= \left(1-\frac{2}{\pi} \right)\varrho_{r}^2 } \\ {\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|^{2}\right]=\operatorname{Var}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]+\left(\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]\right)^{2}=\operatorname{Var}\left[ h_{r_{m}} \right]+\left(\mathbb{E}\left[ h_{r_{m}} \right]\right)^{2}=\varrho_{r}^{2}}\end{array} E[∣hrm​​∣]=π2​ ​ϱr​Var[∣hrm​​∣]=(1−π2​)ϱr2​E[∣hrm​​∣2]=Var[∣hrm​​∣]+(E[∣hrm​​∣])2=Var[hrm​​]+(E[hrm​​])2=ϱr2​​有
E [ z ] = N E [ ∣ ρ ∣ ] ∑ m = 1 M E [ ∣ h r m ∣ ] = M N E [ ∣ ρ ∣ ] 2 π ϱ r \mathbb{E}[z] =\sqrt{N} \mathbb{E}\left[|\rho| \right] \sum_{m=1}^{M} \mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right] =M \sqrt{N} \mathbb{E}[|\rho|] \sqrt{\frac {2}{\pi}} \varrho_{r} E[z]=N ​E[∣ρ∣]∑m=1M​E[∣hrm​​∣]=MN ​E[∣ρ∣]π2​ ​ϱr​

E [ z 2 ] = N E [ ∣ ρ ∣ 2 ] E [ ∥ h r ∥ 1 2 ] = N E [ ∣ ρ ∣ 2 ] E [ ( ∑ m = 1 M ∣ h r m ∣ ) 2 ] \begin{aligned} \mathbb{E}\left[z^{2}\right] &=N \mathbb{E}\left[|\rho|^{2}\right] \mathbb{E}\left[\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1}^{2}\right] \\ &=N \mathbb{E}\left[|\rho|^{2}\right] \mathbb{E}\left[\left(\sum_{m=1}^{M}\left|h_{r_{m}}\right|\right)^{2}\right]\end{aligned} E[z2]​=NE[∣ρ∣2]E[∥hr​∥12​]=NE[∣ρ∣2]E⎣⎡​(m=1∑M​∣hrm​​∣)2⎦⎤​​
感觉后面推导是不是都有问题呀，先暂时不推了。

得出的重要结论就是 平均接收功率 scales quadratically with the number of reflecting elements M.

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信道具体实现是
h = N ‾ L ∑ l = 1 L α l λ r λ t a t ( ϕ l ) α l ∼ C N ( 0 , 1 0 − 0.1 κ ) κ = a + 10 b log ⁡ 10 ( d ~ ) + ξ ξ ∼ N ( 0 , σ ξ 2 ) \bm h=\frac{\sqrt{\overline{N}}}{L} \sum_{l=1}^{L} \alpha_{l} \lambda_{r} \lambda_{t} \bm a_{t}\left(\phi_{l}\right) \\ \\ \alpha_{l} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0,10^{-0.1 \kappa}\right) \\ \\ \kappa=a+10 b \log _{10}(\tilde{d})+\xi \\ \\ \xi \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{\xi}^{2}\right) h=LN ​​l=1∑L​αl​λr​λt​at​(ϕl​)αl​∼CN(0,10−0.1κ)κ=a+10blog10​(d~)+ξξ∼N(0,σξ2​)

BS-User parameters	values	IRS-User parameters	values
λ r \lambda_r λr​	0 dBi	λ r \lambda_r λr​	0 dBi
λ t \lambda_t λt​	0 dBi	λ t \lambda_t λt​	9.82 dBi
$a$	72	$b$	2.92
σ ξ \sigma_{\xi} σξ​	8.7 dB	ϕ l \phi_{l} ϕl​	$[0,2\pi ]$

G = N M α λ r λ t a r ( ϑ a , ϑ e ) a t H ( ϕ ) \boldsymbol{G}=\sqrt{N M} \alpha \lambda_{r} \lambda_{t} \boldsymbol{a}_{r}\left(\vartheta_{a}, \vartheta_{e}\right) \boldsymbol{a}_{t}^{H}(\phi) G=NM ​αλr​λt​ar​(ϑa​,ϑe​)atH​(ϕ)

BS-IRS channel parameters	values
λ r \lambda_r λr​	0 dBi
λ t \lambda_t λt​	9.82 dBi
$a$	61.4
$b$	2
σ ξ \sigma_{\xi} σξ​	5.8 dB
ϕ l \phi_{l} ϕl​	$[0,2\pi ]$

p = 30 d B m , σ 2 = − 85 d B m p=30 \mathrm{dBm}, \quad\sigma^{2}=-85 \mathrm{dBm} p=30dBm,σ2=−85dBm
注：dBm 之间的差值就是 dB（SNR）。

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