算法-克鲁斯卡尔算法

应用场景-公交站问题

1) 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里

3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法介绍

1) 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

2) 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路

3) 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森

林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到

最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克 鲁 斯 卡 尔 算 法 图 解

以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。

第 1  步：将边加入 R 中。

边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 2  步：将边加入 R 中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 3  步：将边加入 R 中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 4  步：将边加入 R 中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳

过边。将边加入到最小生成树结果 R 中。

第 5  步：将边加入 R 中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 6  步：将边加入 R 中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳

过边。将边加入到最小生成树结果 R 中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

克 鲁 斯 卡 尔 算 法 分 析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问

题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。

然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如 何 判 断 是 否 构 成 回 路 - - 举 例 说 明 ( ( 如 图 ) )

在将 加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C 的终点是 F。

(02) D 的终点是 F。

(03) E 的终点是 F。

(04) F 的终点是 F。

关于终点的说明：

1) 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2) 因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将

加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说， 我们加入的 边 的 两个顶点 不能 都指向同一

个终点 ，否则将构成回路。【后面有代码说明】

克 鲁 斯 卡 尔 算 法 的 代 码 说 明：

1) 有北京有新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里

3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

4) 代码实现和注解

package com.example.demo.kruskal;import java.util.Arrays;public class KruskalCase {private int edgeNum;private char[] vertexs;private int[][] matrix;//使用INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};//大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);kruskalCase.print();kruskalCase.kruskal();}public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {int vlen = vertexs.length;this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}//复制邻接矩阵this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}//统计边的条数for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}public void kruskal() {int index = 0; //表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点//创建结果数组，保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12//按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets,否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点（起点）int p1 = getPosition(edges[i].start); ////获取到第i条边的第2个顶点int p2 = getPosition(edges[i].end);//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1);//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends, p2);//是否构成回路if (m != n) {ends[m] = n;rets[index ++] = edges[i]; //有一条边加入到rets 数组}}//最小生成树为System.out.println("最小生成树~~~~~");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为: \n");for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for(int j= 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%14d", matrix[i][j]);}System.out.println();//换行}}/*** 对边进行排序* @param edges*/private void sortEdges(EData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length -1 - i; j++) {if(edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {EData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = tmp;}}}}/*** 功能：获取下标为i的顶点的终点(),* @param ends: 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个* @param i: 顶点对应的下标* @return*/private int getEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}/**** @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch 顶点对应的下标，如果找不到，返回 -1*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) { //找到return i;}}//找不到，返回-1return -1;}/*** 功能：获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过 matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 形式 [['A','B',12],['B','F',7],...]* @return*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {//这里不再把自己算进去，这个要注意for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}}//用EData 来存储边
class EData {char start; //边的一个点char end; //边的另外一个点int weight; //边的权值public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";}
}

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