索引

• 算法基础
• 模灰度级加密算法
• Matlab代码（以灰度级为 2 8 = 256 {{2}^{8}}=256 28=256的图像为例）

算法基础

  给定数$p$和数$G$，考虑同余式
$$px\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
当$\gcd \left(p,G\right)|1$即$\gcd \left(p,G\right)=1$时同余式有解，记该解为
$$x\equiv q\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
$\forall a\in \mathbb{Z}$，记$pa\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G=b$，即有
$$pa\equiv b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$
则有
$$qb\equiv q\left(pa\right)=\left(pq\right)a\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$$

模灰度级加密算法

  给定一幅尺寸为$M\times N$（单位：像素）的图像$I$，确定其灰度级数$G$（通常是$2$的$n$次幂，例如$2$的$8$次幂，即256）。

  密钥：$p\in \mathbb{Z}$，满足$\gcd \left(p,G\right)=1$

  解钥：$q\in \mathbb{Z}$，通过解$pq\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$求出。

加密过程

1. 将明文$I$加密为密文 I 1 {{I}_{1}} I1​， I 1 {{I}_{1}} I1​也是一个尺寸为$M\times N$，灰度级为$G$的图像，且每个像素处的灰度值 I 1 ( i , j ) {{I}_{1}}\left( i,j \right) I1​(i,j)为
   I 1 ( i , j ) = I ( i , j ) × p m o d G , i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 {{I}_{1}}\left( i,j \right)=I\left( i,j \right)\times p\text{ }\bmod G,\text{ }i=0,1,\cdots ,M-1,\text{ }j=0,1,\cdots ,N-1 I1​(i,j)=I(i,j)×p modG, i=0,1,⋯,M−1, j=0,1,⋯,N−1

2. 解密密文 I 1 {{I}_{1}} I1​得到明文$I$，每个像素处的灰度值$I\left(i,j\right)$为
   I ( i , j ) = I 1 ( i , j ) × q m o d G , i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 I\left( i,j \right)={{I}_{1}}\left( i,j \right)\times q\text{ }\bmod G,\text{ }i=0,1,\cdots ,M-1,\text{ }j=0,1,\cdots ,N-1 I(i,j)=I1​(i,j)×q modG, i=0,1,⋯,M−1, j=0,1,⋯,N−1

  由上面的步骤可知，这是一种在图像空间域上的加密，是一种仅改变像素灰度值的加密，解密图像与原图没有差异。由于密钥和解钥一般不相等，因此也是一种公钥加密。

Matlab代码（以灰度级为 2 8 = 256 {{2}^{8}}=256 28=256的图像为例）

I = imread('待读入的图像路径+名称');  % 读入图像
G = 256;  % 确定灰度级，默认图像是8位的，即灰度级是2^8=256
p = 5;  % 确定密钥% 检验密钥p与灰度级G的最大公因数是否为1
if gcd(p, G) ~= 1error('密钥p与灰度级G的最大公因数不是1，不存在解钥');
end% 展示原图像
figure, imshow(I);% 将图像I进行加密得到密文I1, 并可视化
I1 = mod( double(I) * p, G );
figure, imshow( uint8(I1) );% 利用简单的循环迭代找出解钥q
% 因为gcd(p, 256) = 1, 因此p一定是奇数。
% 又由于pq mod256 = 1, 因此q也一定是奇数。
q = 1;
while mod( p*q, G ) ~= 1q = q + 2;
end% 将密文I1解密得到I2, 并可视化
I2 = mod( I1 * q, G );
figure, imshow( uint8(I2) );% 比较原图像I 与 解密得到的I2 是否一致（即该算法是否有损）
% 使用isequal(), 该函数返回真值当且仅当两个矩阵相同索引处的值均相等
if isequal( double(I), I2 )disp('解密得到的图像与原图像一致');
elsedisp('解密得到的图像与原图像不一致');
end

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