前言
请看前面的一二章。最近事儿多，还正好碰到春节，更新慢了，而且后面的内容会比较难，估计一星期是不够的了…所以先做到日拱一卒！这一章的内容跟代数有点关系，证明过程比较trivial我就不写了，总的来说不算难。

Chapter3 外积/楔积 The Wedgeproduct

面积和体积的楔积 Area and Volume with the Wedgeproduct

再一次重申，流形 R n R^n Rn和切空间 T p R n T_pR^n Tp​Rn完全是两码事，虽然如果它们作为向量空间是同构的。设$V,W$是两个向量空间，我们称它们是同构的，如果存在一个一对一的满射$$\varphi :V\to W$$使得 v 1 , v 2 , v ∈ V v_1,\,v_2,\,v\in V v1​,v2​,v∈V以及$c\in \mathbf{R}$有 ϕ ( v 1 + v 2 ) = ϕ ( v 1 ) + ϕ ( v 2 ) , ϕ ( c v ) = c ϕ ( v ) . \phi(v_1+v_2) = \phi(v_1)+\phi(v_2), \\ \phi(cv)=c\phi(v). ϕ(v1​+v2​)=ϕ(v1​)+ϕ(v2​),ϕ(cv)=cϕ(v).
记作$V\simeq W$. 事实上我们有
m a n i f o l d R 3 ≃ T p R 3 ≃ T p ∗ R 3 ≃ v e c t o r s p a c e R 3 {\rm manifold }\,\mathbb{R^3} \simeq T_p\mathbb{R}^3 \simeq T_p^*\mathbb{R}^3\simeq {\rm vector\,space\,}\mathbb{R}^3 manifoldR3≃Tp​R3≃Tp∗​R3≃vectorspaceR3

动机：我们观察到1-形式实际上是保留了切空间向量的某个分量，例如 d x 1 ( [ 2 6 − 3 ] ) = 2 dx_1(\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix})=2 dx1​( ​26−3​ ​)=2而这个分量可以看作是向量在对应坐标轴的“投影”，换言之——它的一维“体积”；我们想要通过1-形式构造出2-形式，3-形式等等，同时保证这些形式也具有一定的“体积”的性质，因此，我们想到了用行列式来定义。值得注意的是，这样定义的2-形式和3-形式不再是1-形式，甚至也不是线性泛函。

上述的动机详见P70-75，内含有大量插图，非常有助于理解定义的动机。

我们将 R 3 \mathbb{R^3} R3上的2-形式的集合记作 ∧ 2 ( R 3 ) \wedge^2(\mathbb{R^3}) ∧2(R3)，其中$\wedge$定义了一种运算如下
d x i ∧ d x j ( v p , w p ) ≡ ∣ d x i ( v p ) d x i ( w p ) d x j ( v p ) d x j ( w p ) ∣ dx_i\wedge dx_j(v_p,w_p)\equiv \begin{vmatrix} dx_i(v_p) & dx_i(w_p) \\ dx_j(v_p) & dx_j(w_p) \end{vmatrix} dxi​∧dxj​(vp​,wp​)≡ ​dxi​(vp​)dxj​(vp​)​dxi​(wp​)dxj​(wp​)​ ​

总而言之，两个1-形式的楔积通过行列式定义了向量形成的“平行六面体”在某一面的投影。
原书P76-78详细解释了上述的观点。
接下来要讨论2-形式的空间的基的问题，我们没有严格的定义什么是基，但是通过类比的思想，我们可以想象到任何一个2-形式应该都可以由这组基线性表出，事实上在 R 3 \mathbb{R}^3 R3里，任何一个2-形式都可以被表示为以下三个2-形式的线性组合
a d x 1 ∧ d x 2 + b d x 2 ∧ d x 3 + c d x 1 ∧ d x 3 adx_1\wedge dx_2+ bdx_2\wedge dx_3+ cdx_1\wedge dx_3 adx1​∧dx2​+bdx2​∧dx3​+cdx1​∧dx3​
我们注意到，2-形式的基跟它在哪个空间是有关系的，一般来讲 R n \mathbb{R}^n Rn上的k-形式的一组基的有 ( n k ) {n \choose k} (kn​)个元素
类似的我们定义3-形式
d x i ∧ d x j ∧ d x k ≡ ∣ d x i ( u ) d x i ( v ) d x i ( w ) d x j ( u ) d x j ( v ) d x j ( w ) d x k ( u ) d x k ( v ) d x k ( w ) ∣ dx_i\wedge dx_j\wedge dx_k\equiv \begin{vmatrix} dx_i(u) & dx_i(v) & dx_i(w)\\ dx_j(u) & dx_j(v) & dx_j(w)\\ dx_k(u) & dx_k(v) & dx_k(w)\\ \end{vmatrix} dxi​∧dxj​∧dxk​≡ ​dxi​(u)dxj​(u)dxk​(u)​dxi​(v)dxj​(v)dxk​(v)​dxi​(w)dxj​(w)dxk​(w)​ ​
乃至n-形式
d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i n ( v 1 , v 2 , ⋯ , v n ) ≡ ∣ d x i 1 ( v 1 ) d x i 1 ( v 2 ) ⋯ d x i 1 ( v n ) d x i 2 ( v 1 ) d x i 2 ( v 2 ) ⋯ d x i 2 ( v n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ d x i n ( v 1 ) d x i n ( v 2 ) ⋯ d x i n ( v n ) ∣ dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge \cdots \wedge dx_{i_n}(v_1,v_2,\cdots,v_n)\equiv \begin{vmatrix} dx_{i_1}(v_1) & dx_{i_1}(v_2) & \cdots &dx_{i_1}(v_n)\\ dx_{i_2}(v_1) & dx_{i_2}(v_2) & \cdots &dx_{i_2}(v_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ dx_{i_n}(v_1) & dx_{i_n}(v_2) & \cdots &dx_{i_n}(v_n)\\ \end{vmatrix} dxi1​​∧dxi2​​∧⋯∧dxin​​(v1​,v2​,⋯,vn​)≡ ​dxi1​​(v1​)dxi2​​(v1​)⋮dxin​​(v1​)​dxi1​​(v2​)dxi2​​(v2​)⋮dxin​​(v2​)​⋯⋯⋱⋯​dxi1​​(vn​)dxi2​​(vn​)⋮dxin​​(vn​)​ ​

这样定义的n-形式有许多重要的性质，我很懒就不写了，其实就是行列式的那几条性质，例如交换某行某列会加一个负号，某行某列相等行列式为零，某行某列为零则行列式为零等等。

一般的2-形式和3-形式 General Two-Forms and Three-Forms

记号：我们将$p$点处的2-形式的空间记作 ∧ p 2 ( R 3 ) \wedge^2_p(\mathbb{R}^3) ∧p2​(R3).

由上一小节我们知道了，空间 ∧ p 2 ( R 3 ) \wedge^2_p(\mathbb{R}^3) ∧p2​(R3)的一组基是
{ d x 1 ∧ d x 2 , d x 2 ∧ d x 3 , d x 3 ∧ d x 1 } \{dx_1\wedge dx_2, dx_2\wedge dx_3,dx_3\wedge dx_1\} {dx1​∧dx2​,dx2​∧dx3​,dx3​∧dx1​}
注意，我们一般是把 d x 3 ∧ d x 1 dx_3\wedge dx_1 dx3​∧dx1​作为基而不是 d x 1 ∧ d x 3 dx_1\wedge dx_3 dx1​∧dx3​，原因在于我们想要一种“循环对称性”，但这种性质只有三维空间才有，一般来说还是让下标以升序排列。

我们考虑一个一般的 R 3 \mathbb{R}^3 R3上的2-形式
a d x 1 ∧ d x 2 + b d x 2 ∧ d x 3 + c d x 3 ∧ d x 1 adx_1\wedge dx_2+ bdx_2\wedge dx_3+cdx_3\wedge dx_1 adx1​∧dx2​+bdx2​∧dx3​+cdx3​∧dx1​
在几何上这表明把输入的两个三维向量形成的“平行六面体”分别投影到三个面上，然后把它们的面积分别乘上$a,b,c$最后算这三个扩大后的面积的算术和。

P83到88详细论述了这个过程，并且插图很清晰，尤其是四维空间那一段特别有助于想象和理解楔积到底在干嘛以及四位欧氏空间大概是个什么形状

n-形式的楔积 The Wedgeproduct of n-forms

代数性质

设 ω , ω 1 , ω 2 \omega,\omega_1,\omega_2 ω,ω1​,ω2​是k-形式， η , η 1 , η 2 \eta,\eta_1,\eta_2 η,η1​,η2​是l-形式，那么有以下性质成立

1. $a\omega \wedge \eta =\omega \wedge a\eta =a(\omega \wedge \eta )$其中$a\in \mathbb{R}$
2. ( ω 1 + ω 2 ) ∧ η = ω 1 ∧ η + ω 2 ∧ η (\omega_1+\omega_2)\wedge\eta=\omega_1\wedge\eta+\omega_2\wedge\eta (ω1​+ω2​)∧η=ω1​∧η+ω2​∧η
3. ω ∧ ( η 1 + η 2 ) = ω ∧ η 1 + ω ∧ η 2 \omega\wedge(\eta_1+\eta_2)=\omega\wedge\eta_1+\omega\wedge\eta_2 ω∧(η1​+η2​)=ω∧η1​+ω∧η2​
4. ω ∧ η = ( − 1 ) k l η ∧ ω \omega\wedge\eta=(-1)^{kl}\eta\wedge\omega ω∧η=(−1)klη∧ω

简化符号

我们以 α ∈ ∧ 2 ( R 3 ) \alpha\in \wedge^2(\mathbb{R}^3) α∈∧2(R3)为例，一般我们会把$\alpha$写成
α = a 12 d x 1 ∧ d x 2 + a 23 d x 2 ∧ d x 3 + a 31 d x 3 ∧ d x 1 \alpha = a_{12}dx_1\wedge dx_2+a_{23}dx_2\wedge dx_3+a_{31}dx_3\wedge dx_1 α=a12​dx1​∧dx2​+a23​dx2​∧dx3​+a31​dx3​∧dx1​
但有些时候我们会简写成
α = a 1 d x 1 ∧ d x 2 + a 2 d x 2 ∧ d x 3 + a 3 d x 3 ∧ d x 1 \alpha = a_{1}dx_1\wedge dx_2+a_{2}dx_2\wedge dx_3+a_{3}dx_3\wedge dx_1 α=a1​dx1​∧dx2​+a2​dx2​∧dx3​+a3​dx3​∧dx1​
但是对于更高维的具体流形，我们的记号就必须全部写出来，并且下标应该以升序排列，以 α ∈ ∧ 2 ( R 4 ) \alpha\in\wedge^2(\mathbb{R}^4) α∈∧2(R4)为例，我们应该写成
α = a 12 d x 1 ∧ d x 2 + a 13 d x 1 ∧ d x 3 + a 14 d x 1 ∧ d x 4 + a 23 d x 2 ∧ d x 3 + a 24 d x 2 ∧ d x 4 + a 34 d x 3 ∧ d x 4 \alpha = a_{12}dx_1\wedge dx_2+a_{13}dx_1\wedge dx_3+a_{14}dx_1\wedge dx_4+a_{23}dx_2\wedge dx_3+ \\ a_{24}dx_2\wedge dx_4+a_{34}dx_3\wedge dx_4 α=a12​dx1​∧dx2​+a13​dx1​∧dx3​+a14​dx1​∧dx4​+a23​dx2​∧dx3​+a24​dx2​∧dx4​+a34​dx3​∧dx4​
而对于 α ∈ ∧ 3 ( R 4 ) \alpha\in\wedge^3(\mathbb{R}^4) α∈∧3(R4)则应该写成
α = a 123 d x 1 ∧ d x 2 ∧ d x 3 + a 124 d x 1 ∧ d x 2 ∧ d x 4 + a 134 d x 1 ∧ d x 3 ∧ d x 4 + a 234 d x 2 ∧ d x 3 ∧ d x 4 \alpha=a_{123}dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3+a_{124}dx_1\wedge dx_2\wedge dx_4+a_{134}dx_1\wedge dx_3\wedge dx_4+a_{234}dx_2\wedge dx_3\wedge dx_4 α=a123​dx1​∧dx2​∧dx3​+a124​dx1​∧dx2​∧dx4​+a134​dx1​∧dx3​∧dx4​+a234​dx2​∧dx3​∧dx4​
对于一般的k-形式，全部写出来是不可能的，我们会用到如下的记号
设 α ∈ ∧ k ( R n ) \alpha\in\wedge^k(\mathbb{R}^n) α∈∧k(Rn)，记
α = ∑ I α I d x I \alpha=\sum_I\alpha_Idx^I α=I∑​αI​dxI
其中$I$代表下标升序排列的集合中的元素，即
I ∈ J k , n = { ( i 1 i 2 ⋯ i k ) ∣ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } I\in \mathcal{J}_{k,n}=\{ (i_1i_2\cdots i_k)\vert 1\leq i_1I∈Jk,n​={(i1​i2​⋯ik​)∣1≤i1​<i2​<⋯<ik​≤n}
例如，假设$k=2,n=4$那么
J 2 , 4 = { 12 , 13 , 14 , 23 , 24 , 34 } \mathcal{J}_{2,4}=\{ 12,13,14,23,24,34 \} J2,4​={12,13,14,23,24,34}
若$k=3,n=4$那么
J 3 , 4 = { 123 , 124 , 134 , 234 } \mathcal{J}_{3,4}=\{ 123,124,134,234 \} J3,4​={123,124,134,234}
同时我们约定，将 d x 12 ≡ d x 1 ∧ d x 2 , d x 24 ≡ d x 2 ∧ d x 4 , d x 134 ≡ d x 1 ∧ d x 3 ∧ d x 4 dx^{12}\equiv dx_1\wedge dx_2, dx_{24}\equiv dx_2\wedge dx_4, dx^{134}\equiv dx_1\wedge dx_3\wedge dx_4 dx12≡dx1​∧dx2​,dx24​≡dx2​∧dx4​,dx134≡dx1​∧dx3​∧dx4​等等。
这样，我们就有了第一个楔积公式
( ∑ I a I d x I ) ∧ ( ∑ J b J d x J ) = ∑ a I b J d x I ∧ d x J \left( \sum_I a_Idx^I \right)\wedge\left( \sum_J b_J dx^J\right)=\sum a_Ib_Jdx^I\wedge dx^J (I∑​aI​dxI)∧(J∑​bJ​dxJ)=∑aI​bJ​dxI∧dxJ
注意，等号右侧的结果中，如果$I,J$有任何相同的下标那么
d x I ∧ d x J = 0 dx^I\wedge dx^J=0 dxI∧dxJ=0
如果$I,J$是不相交的两个集合，那么我们有第二个楔积公式
( ∑ I a I d x I ) ∧ ( ∑ J b J d x J ) = ∑ K ( ∑ I ∪ J I , J d i s j o i n t ± a I b J ) d x K \left( \sum_I a_Idx^I \right)\wedge\left( \sum_J b_J dx^J\right)=\sum_K\left( \sum_{\substack{I\cup J\\I,J\, \rm disjoint}} \pm a_I b_J\right)dx^K (I∑​aI​dxI)∧(J∑​bJ​dxJ)=K∑​ ​I∪JI,Jdisjoint​∑​±aI​bJ​ ​dxK
注意，第二个楔积公式的右侧，除了保证$I,J$不相交外，最终结果也是要按升序重排列的，如果有重复元素也要被剔除。

P92详细论述了一种算法来计算楔积，这里不展开讲，但如果日后要用到请回头查看

一般公式

这一小节有三个等价公式，由于证明过程实在太繁琐，尤其是前两个公式涉及到我最讨厌的逆序数的概念，所以略过证明，第三个公式设涉及张量，日后再来解释。
设$\alpha$是k-形式，$\beta$是l-形式，则$\alpha$与$\beta$的楔积可以被表示为
( α ∧ β ) ( v 1 , ⋯ , v k + l ) = 1 k ! l ! ∑ σ ∈ S k + l s g n ( σ ) α ( v σ ( 1 ) , ⋯ , v σ ( k ) ) β ( v σ ( k + 1 ) , ⋯ , v σ ( k + l ) ) \left( \alpha\wedge\beta \right)\left( v_1,\cdots,v_{k+l} \right)=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}{\rm sgn}(\sigma) \alpha\left( v_{\sigma(1)},\cdots, v_{\sigma(k)}\right)\beta\left( v_{\sigma(k+1)},\cdots, v_{\sigma(k+l)}\right) (α∧β)(v1​,⋯,vk+l​)=k!l!1​σ∈Sk+l​∑​sgn(σ)α(vσ(1)​,⋯,vσ(k)​)β(vσ(k+1)​,⋯,vσ(k+l)​)
或者被表示为
( α ∧ β ) ( v 1 , ⋯ , v k + l ) = ∑ σ i s a ( k + l ) − s h u f f l e s g n ( σ ) α ( v σ ( 1 ) , ⋯ , v σ ( k ) ) β ( v σ ( k + 1 ) , ⋯ , v σ ( k + l ) ) \left( \alpha\wedge\beta \right)\left( v_1,\cdots,v_{k+l} \right)=\sum_{\sigma\,{\rm is\,a\,}(k+l)-{\rm shuffle}}{\rm sgn}(\sigma) \alpha\left( v_{\sigma(1)},\cdots, v_{\sigma(k)}\right)\beta\left( v_{\sigma(k+1)},\cdots, v_{\sigma(k+l)}\right) (α∧β)(v1​,⋯,vk+l​)=σisa(k+l)−shuffle∑​sgn(σ)α(vσ(1)​,⋯,vσ(k)​)β(vσ(k+1)​,⋯,vσ(k+l)​)
上面俩公式我不解释意思，平时就用行列式去计算即可。
张量形式的楔积公式如下
α ∧ β = ( k + l ) ! k ! l ! A ( α ⊗ β ) \alpha\wedge\beta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\mathscr{A}(\alpha\otimes\beta) α∧β=k!l!(k+l)!​A(α⊗β)
其中，$\otimes$是张量积，$\mathcal{A}$是反对称化算子，具体含义等我懂张量了再来补充。

内积 The Interior Product

内积也叫 interior product 或者 inner product，可以把内积理解成一种运算，该运算需要一个向量$v$和一个k-形式$\alpha$，运算的结果是一个（k-1）-形式，并且把这种运算记作 ι v ( α ) \iota_v(\alpha) ιv​(α)
定义：内积运算如下
ι v α ( v 1 , ⋯ , v k − 1 ) = α ( v , v 1 , ⋯ , v k − 1 ) \iota_v\alpha(v_1,\cdots,v_{k-1})=\alpha(v,v_1,\cdots,v_{k-1}) ιv​α(v1​,⋯,vk−1​)=α(v,v1​,⋯,vk−1​)
解释一下，左边有两个输入，一个是k-形式$\alpha$，一个是向量$v$，右侧是结果，是一个（k-1）形式。运算过程就是把$\alpha$的第一个位置的输入向量固定成$v$，这样$\alpha$只有（k-1）个位置可以自由地放置其他向量，所以是一个（k-1）形式，将结果记作 ι v α \iota_v\alpha ιv​α.
根据定义，我们很容易得到下面的几个恒等式(identity)
ι v ( α + β ) = ι v α + ι v β , w h e r e α , β a r e b o t h k − f o r m s \iota_v(\alpha+\beta)=\iota_v\alpha+\iota_v\beta,\;{\rm where\;}\alpha, \beta \;{\rm are\,both}\;k-{\rm forms} ιv​(α+β)=ιv​α+ιv​β,whereα,βarebothk−forms
ι ( v + w ) α = ι v α + ι w α , w h e r e α i s a k − f o r m a n d v , w a r e v e c t o r s \iota_{(v+w)}\alpha=\iota_v\alpha+\iota_w\alpha, \;{\rm where}\,\alpha {\rm \; is\; a\; }k-{\rm form\; and\;}v,\,w\;{\rm are \;vectors} ι(v+w)​α=ιv​α+ιw​α,whereαisak−formandv,warevectors
ι v ( f d x ∧ d y ) = f ι v ( d x ∧ d y ) , w h e r e f i s a r e a l n u m b e r \iota_v(fdx\wedge d_y)=f\iota_v(dx\wedge dy),\;{\rm where} \;f {\rm \; is \; a \;real \; number} ιv​(fdx∧dy​)=fιv​(dx∧dy),wherefisarealnumber
由此，内积 ι v α \iota_v\alpha ιv​α对于$v,\alpha$都是线性的
由上述恒等式，我们得到了下面这个内积的计算式
ι v ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x k ) = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 d x i ( v ) ( d x 1 ∧ ⋯ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x k ) \iota_v\left( dx_1\wedge\cdots\wedge dx_k \right)=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}dx_i(v)(dx_1\wedge\cdots \widehat{dx_i}\wedge\cdots\wedge dx_k) ιv​(dx1​∧⋯∧dxk​)=i=1∑k​(−1)i−1dxi​(v)(dx1​∧⋯dxi​ ​∧⋯∧dxk​)
其中 d x i ^ \widehat{dx_i} dxi​ ​表示忽略 d x i dx_i dxi​这个元素。
举几个例子

1. 计算一个2-形式
   ι v ( d y ∧ d z ) = d y ∧ d z ( v , ⋅ ) = ∣ d y ( v ) d y ( ⋅ ) d z ( v ) d z ( ⋅ ) ∣ = d y ( v ) d z ( ⋅ ) − d z ( v ) d y ( ⋅ ) = v 2 d z − v 3 d y \begin{aligned} \iota_v(dy\wedge dz) &=dy\wedge dz(v,\cdot) \\&=\begin{vmatrix} dy(v) & dy(\cdot)\\ dz(v) & dz(\cdot)\\ \end{vmatrix} \\&=dy(v)dz(\cdot)-dz(v)dy(\cdot) \\&=v_2dz-v_3dy \end{aligned} ιv​(dy∧dz)​=dy∧dz(v,⋅)= ​dy(v)dz(v)​dy(⋅)dz(⋅)​ ​=dy(v)dz(⋅)−dz(v)dy(⋅)=v2​dz−v3​dy​
2. 设 α ∈ ∧ 2 ( R 3 ) \alpha\in\wedge^2(\mathbb{R^3}) α∈∧2(R3)，那么
   α = f ( x , y , z ) d x ∧ d y + g ( x , y , z ) d y ∧ d z + h ( x , y , z ) d x ∧ d z \begin{aligned} \alpha&= f(x,y,z)dx\wedge dy+g(x,y,z)dy\wedge dz+h(x,y,z)dx\wedge dz \end{aligned} α​=f(x,y,z)dx∧dy+g(x,y,z)dy∧dz+h(x,y,z)dx∧dz​它的内积
   ι v α = ι v ( f d x ∧ d y + g d y ∧ d z + h d x ∧ d z ) = ι v ( f d x ∧ d y ) + ι v ( g d y ∧ d z ) + ι v ( h d x ∧ d z ) = f ι v ( d x ∧ d y ) + g ι v ( d y ∧ d z ) + h ι v ( d x ∧ d z ) = f ( v 1 d y − v 2 d x ) + g ( v 2 d z − v 3 d y ) + h ( v 1 d z − v 3 d x ) = − ( f v 2 + h v 3 ) d x + ( f v 1 − g v 3 ) d y + ( g v 2 + h v 1 ) d z \begin{aligned} \iota_v\alpha&= \iota_v(fdx\wedge dy+gdy\wedge dz+hdx\wedge dz) \\&=\iota_v(fdx\wedge dy)+\iota_v(gdy\wedge dz)+\iota_v(hdx\wedge dz) \\&=f\iota_v(dx\wedge dy)+g\iota_v(dy\wedge dz)+h\iota_v(dx\wedge dz) \\&=f(v_1dy-v_2dx)+g(v_2dz- v_3dy)+h(v_1dz-v_3dx) \\&=-(fv_2+hv_3)dx+(fv_1-gv_3)dy+(gv_2+hv_1)dz \end{aligned} ιv​α​=ιv​(fdx∧dy+gdy∧dz+hdx∧dz)=ιv​(fdx∧dy)+ιv​(gdy∧dz)+ιv​(hdx∧dz)=fιv​(dx∧dy)+gιv​(dy∧dz)+hιv​(dx∧dz)=f(v1​dy−v2​dx)+g(v2​dz−v3​dy)+h(v1​dz−v3​dx)=−(fv2​+hv3​)dx+(fv1​−gv3​)dy+(gv2​+hv1​)dz​

由上，我们得出一个非常重要的恒等式，如下。
设$\alpha$是一个k-形式，$\beta$是任意一个形式，则
ι v ( α ∧ β ) = ( ι v α ) ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ ( ι v β ) \iota_v(\alpha\wedge\beta)=(\iota_v\alpha)\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge(\iota_v\beta) ιv​(α∧β)=(ιv​α)∧β+(−1)kα∧(ιv​β)
证明过程略，详见P99

另一个重要的恒等式如下，
( ι u ι v + ι v ι u ) α = 0 (\iota_u\iota_v+\iota_v\iota_u)\alpha=0 (ιu​ιv​+ιv​ιu​)α=0
证明过程略，详见P100
上式经常简写成 ι u ι v + ι v ι u = 0 \iota_u\iota_v+\iota_v\iota_u=0 ιu​ιv​+ιv​ιu​=0,同时令$u=v$立得 ι v 2 = 0 \iota^2_v=0 ιv2​=0

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！