不平等博弈问题学习记录（二）（对于超实数在博弈下左右相等的扩充）

前言

继续更新

正文

在上一篇文章中，定义了超实数{l∣r}\{l|r\}{l∣r}这个运算
也了解了通过超实数对博弈状态的定义
但是，还有很多的特殊情况没有考虑过

特殊状态“ * ”

当$l=r=0$的时候，我们会发现，已经没有满足条件的结果了
但是根据需要，博弈中会出现这样的情况
两个子状态都是先手必败态，那么答案是什么呢，那很显然是先手必胜态，由于无法用超实数表示，所以我们要另辟蹊径
∗={0∣0}*=\{0|0\}∗={0∣0}
这个状态表示先手必胜态，那么根据定义，我们有0={∗∣∗}0=\{ *|*\}0={∗∣∗}，这样一来就成功解决这个问题了，$\ast$小于所有正数，大于所有负数，和$0$无法比较
定义好了$\ast$，当然也要定义好与$\ast$相关的运算
“$\ast$”与一个正数或负数： 由于我们定义好了$\ast$的相对大小关系，所以已经完成了
“$\ast$”与“$\ast$”： 与自己运算的结果已经给出，{∗∣∗}=0\{*|*\}=0{∗∣∗}=0
“$\ast$”与$0$： 好像没有给出，所以需要定义新的状态

特殊状态“$\uparrow$” 、“$\downarrow$”

↑={0∣∗}\uparrow=\{ 0 | ∗ \}↑={0∣∗}
↓={∗∣0}\downarrow=\{ ∗ | 0 \}↓={∗∣0}
我们现在来看“$\uparrow$”与“$\downarrow$”的一些性质
对于“$\uparrow$”，容易看出“$\uparrow$”是第一个玩家必胜态，所以$\uparrow >0$
另外，“$\uparrow$”小于每一个正数（有证明，但要用到这种定义下的加法），所以类似于“$\uparrow$”就好像正无穷小(0+0^+0+)
对于“$\downarrow$”，容易看出“$\downarrow$”是第一个玩家必败态，所以$\downarrow <0$
类似于“$\uparrow$”，“$\downarrow$”大于每一个负数，所以$\downarrow$可以近似看作负无穷小（0−0^-0−）

新定义了那么多东西，{l∣r}\{ l | r \}{l∣r}在博弈中的很多运算就差不多解释完了

整理

左边的$\Phi <$负数$<\downarrow <0,\ast <\uparrow <$正数$<$右边的$\Phi$
对于运算{L∣R}\{ L | R \}{L∣R}可以转化为{max(L)∣min(R)}\{max(L)|min(R)\}{max(L)∣min(R)}(L，R都是集合)
也就转化到了{l∣r}\{ l | r \}{l∣r}的问题了(l、r都是单个数)
如果$l<r$那么{l∣r}\{ l | r \}{l∣r}的结果:

• 超实数运算
  若$l、r$之间有整数，{l∣r}=x\{l|r\}=x{l∣r}=x（$l<x<r$且$x$是所有满足的数中离$0$最近的整数）
  若$l、r$之间无整数，{l∣r}=x/y\{l|r\}=x/y{l∣r}=x/y（$l<x/y<r$且y=2k(k∈Z∗)y=2^k(k\in\Z^*)y=2k(k∈Z∗)且y是所有满足条件的数中最小的数，x是在满足前面的条件下的可取值中离$0$最近的整数
• 特殊运算
  0={∗∣∗}0=\{ *|*\}0={∗∣∗}
  ∗={0∣0}*=\{ 0|0\}∗={0∣0}
  $\uparrow$={ 0 | $\ast$ }
  $\downarrow$={ $\ast$ | 0 }

总结

知道上述的定义，差不多就能解决所有的这一类的OI题目了，但是考虑$0|\uparrow$之类的结果是什么呢，在这里还无法解释，理解上述内容其实已经够用了，但是学一样东西就要学透，所以在下一篇文章中我会写到加法运算的定义，当然先理解这篇文章的内容是最重要的，当然我所写的并不十分严谨，如果有问题敬请提出，记录（二）到这里就结束了

update by 2019.1.9：感觉我以前写的很乱啊，更新一下格式，并且根据理解迁移了一些内容

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