【基础】求极限

无穷小量以及无穷大量

无穷小量

极限为零
x → 0 , x 3 , x 5 ， s i n x , t a n x , c o s x − 1 x\rightarrow0,x^3,x^5，sinx,tanx,cosx - 1 x→0,x3,x5，sinx,tanx,cosx−1

无穷小量是一个变量，并不代表一个很小的数
x→[ ]：这里可以趋近于任何数，不一定是0
极限为0；数字为0

无穷大量

结论和公式

lim ⁡ x → ∞ a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 + . . . + b 1 x + b 0 = { 0 , n < m a n b n , n = m , a n ≠ 0 , b m ≠ 0 ∞ , n > m \begin{aligned} \lim_{x\to \infty} {a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \over b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0, & n < m\\ {a_n \over b_n}, & n = m,a_n \neq 0,b_m \neq 0 \\ \infty, & n > m \end{cases} \end{aligned} \hspace{50cm} x→∞lim​bm​xm+bm−1​xm−1+...+b1​x+b0​an​xn+an−1​xn−1+...+a1​x+a0​​=⎩ ⎨ ⎧​0,bn​an​​,∞,​n<mn=m,an​=0,bm​=0n>m​​

lim ⁡ n → ∞ a n = { 0 , ∣ a ∣ < 1 1 , a = 1 不存在 , 其他 . \begin{aligned} \lim_{n\to \infty}a^n = \begin{cases} 0, & |a| < 1\\ 1, & a = 1 \\ 不存在,& 其他. \end{cases} \end{aligned} \hspace{50cm} n→∞lim​an=⎩ ⎨ ⎧​0,1,不存在,​∣a∣<1a=1其他.​​

lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A ↔ lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A \begin{aligned} \lim_{x\to \infty}f(x) = A \harr \lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to -\infty}f(x) = A \end{aligned}\hspace{50cm} x→∞lim​f(x)=A↔x→+∞lim​f(x)=x→−∞lim​f(x)=A​

无穷小量乘以有界量等于无穷小量

lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 , lim ⁡ x → 0 x s i n x 1 x = 0 , lim ⁡ x → ∞ s i n x x = 0 , lim ⁡ x → ∞ x s i n x 1 x = 1 , \lim_{x\to 0}{sinx \over x} = 1, \lim_{x \to 0}xsinx{1 \over x} = 0, \lim_{x \to \infty}{sinx \over x} = 0, \lim_{x \to \infty}xsinx{1 \over x} = 1,\hspace{50cm} x→0lim​xsinx​=1,x→0lim​xsinxx1​=0,x→∞lim​xsinx​=0,x→∞lim​xsinxx1​=1,

$$\lim f(x)g(x)=\lim f(x)\ast \lim (gx)前提是\lim f(x)、\lim (gx)存在$$

指数函数在0+ 0-的时候极限不一样

无穷小量就是趋于0的量
有界量就是随便自变量怎么变化，结果都在一个范围内

利用泰勒公式求极限

x 3 + x 5 ≈ x 3 x^3 + x^5 \approx x^3 x3+x5≈x3

麦克劳林公式
s i n x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 + o ( x 5 ) c o s x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + o ( x 4 ) t a n x = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) a r c s i n x = x + 1 6 x 3 + o ( x 3 ) a r c t a n x = x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + o ( x 2 ) e x = 1 + x + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + o ( x 2 ) \begin{array}{l} sinx = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + o(x^5) \\ \\ cosx = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!} x^4 + o(x^4) \\ \\ tanx = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) \\ \\ arcsinx = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) \\ \\ arctanx = x - \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) \\ \\ ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \\ \\ e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \\ \\ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + o(x^2) \end{array}\hspace{50cm} sinx=x−3!1​x3+5!1​x5+o(x5)cosx=1−2!1​x2+4!1​x4+o(x4)tanx=x+31​x3+o(x3)arcsinx=x+61​x3+o(x3)arctanx=x−31​x3+o(x3)ln(1+x)=x−21​x2+o(x2)ex=1+x+21​x2+o(x2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2)​

倒代换
x → ∞ 设 t = 1 x 则 t → 0 x \to \infty 设t={1 \over x} 则t \to 0 \hspace{50cm} x→∞设t=x1​则t→0

无穷小替换求极限

使用条件
乘除法使用；加减法不用
公式变形
其实就是把常量或着低次项代入到麦克劳林公式，注意熟悉！

e x − 1 ≈ x e^x - 1 \approx x ex−1≈x
 ↓
e f ( x ) − e g ( x ) = e g ( x ) ( e f ( x ) − g ( x ) − 1 ) ≈ e g ( x ) ( f ( x ) − g ( x ) ) e^{f(x)} - e^{g(x)} = e^{g(x)}(e^{f(x)-g(x)} - 1) \approx e^{g(x)}\Big(f(x)-g(x)\Big) ef(x)−eg(x)=eg(x)(ef(x)−g(x)−1)≈eg(x)(f(x)−g(x))

$x\to 0,ln(1+x)\approx x$
$ln(1+x)推广为lnf(x),f(x)\to 1$
因此。当 x → x 0 时， f ( x ) → 1 ，则 l n f ( x ) = l n [ 1 + f ( x ) − 1 ] ≈ f ( x ) − 1 因此。当x \to x_0 时，f(x) \to 1，则lnf(x) = ln[1+f(x)-1] \approx f(x) - 1 因此。当x→x0​时，f(x)→1，则lnf(x)=ln[1+f(x)−1]≈f(x)−1

洛必达法则

若、 lim ⁡ f ( x ) = lim ⁡ g ( x ) = 0 ( ∞ ) 且 lim ⁡ f ′ ( x ) g ′ ( x ) 存在 ( ∞ ) . 则 lim ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ f ′ ( x ) g ′ ( x ) 若、\lim f(x) = \lim g(x) = 0(\infty)且\lim{f'(x) \over g'(x)}存在(\infty).则\lim{f(x) \over g(x)} = \lim{f'(x) \over g'(x)} 若、limf(x)=limg(x)=0(∞)且limg′(x)f′(x)​存在(∞).则limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​

幂指函数指数化
f ( x ) g ( x ) = e l n f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) l n f ( x ) f(x)^{g(x)} = e^{lnf(x)^{g(x)}} = e^{g(x)lnf(x)} f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x)

各种函数的求导
待补充

幂指函数求极限

1 ∞ 、 ∞ 0 、 0 0 1^\infty 、 \infty^0 、0^0 1∞、∞0、00都转化为$0\ast \infty$
对于 1 ∞ 1^\infty 1∞型未定式，其极限结果 = e A =e^A =eA

lim ⁡ x → [ ] [ 1 + f ( x ) ] g ( x ) ， f ( x ) → 0 , g ( x ) → ∞ lim ⁡ x → [ ] [ 1 + f ( x ) ] g ( x ) = e A , A = lim ⁡ x → [ ] f ( x ) ∗ g ( x ) . \begin{aligned} \lim_{x\to [ ]}[1+f(x)]^g(x)，f(x)\to0,g(x)\to \infty \end{aligned}\hspace{50cm} \\ \begin{aligned} \lim_{x\to [ ]}[1+f(x)]^g(x) = e^A,A = \lim_{x\to [ ]} f(x)*g(x). \end{aligned}\hspace{50cm} x→[]lim​[1+f(x)]g(x)，f(x)→0,g(x)→∞​x→[]lim​[1+f(x)]g(x)=eA,A=x→[]lim​f(x)∗g(x).​

lim ⁡ x → [ ] f ( x ) g ( x ) , f ( x ) → 1 , g ( x ) → ∞ lim ⁡ x → [ ] f ( x ) g ( x ) = e A , A = lim ⁡ x → [ ] [ f ( x ) − 1 ] ∗ g ( x ) \begin{aligned} \lim_{x\to [ ]}f(x)^{g(x)},f(x)\to1,g(x)\to \infty \end{aligned}\hspace{50cm} \\ \begin{aligned} \lim_{x\to [ ]}f(x)^{g(x)} = e^A,A = \lim_{x\to [ ]}[f(x)-1]*g(x) \end{aligned}\hspace{50cm} x→[]lim​f(x)g(x),f(x)→1,g(x)→∞​x→[]lim​f(x)g(x)=eA,A=x→[]lim​[f(x)−1]∗g(x)​

lim ⁡ x → ∞ ( a x + b a x + c ) h x + k = e ( b − c ) h a \begin{aligned} \lim_{x \to \infty}({ax + b \over ax +c})^{hx+k} = e^{(b-c)h \over a} \end{aligned}\hspace{50cm} x→∞lim​(ax+cax+b​)hx+k=ea(b−c)h​​

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