X服从零均值高斯分布，求cosX的均值

X服从零均值高斯分布，求cosX的均值

• • 问题描述
  • 求解过程
  • 蒙特卡洛仿真验证
  • 存在的问题

问题描述

随机变量$X$服从零均值高斯分布，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2，求$cosX$的期望$E(cosX)$。

求解过程

¹ E ( c o s X ) = ∫ − ∞ + ∞ c o s X 1 2 π σ e − X 2 2 σ 2 d x E(cosX)=\int_{-\infty}^{+\infty}cosX\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{X^2}{2\sigma^2}}dx E(cosX)=∫−∞+∞​cosX2π ​σ1​e−2σ2X2​dx

• 将$cosX$用欧拉公式表示²
  c o s X = e − i X + e i X 2 cosX=\frac{e^{-iX}+e^{iX}}{2} cosX=2e−iX+eiX​
  如果是$sinX$，则可以表示为 s i n X = i ( e − i X − e i X ) 2 sinX=\frac{i(e^{-iX}-e^{iX})}{2} sinX=2i(e−iX−eiX)​

• 带入得：

∫ − ∞ + ∞ c o s X 1 2 π σ e − X 2 2 σ 2 d X = 1 2 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − i X − X 2 2 σ 2 + e i X − X 2 2 σ 2 d X \int_{-\infty}^{+\infty}cosX\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{X^2}{2\sigma^2}}dX= \frac{1}{2\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iX-\frac{X^2}{2\sigma^2}}+e^{iX-\frac{X^2}{2\sigma^2}}dX ∫−∞+∞​co

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