给定随机变量X的概率分布——在R语言中模拟此随机变量

文章目录

• 一、问题重述
• 二、问题求解
• 三、证明
• 四、R语言代码
• 五、总结

一、问题重述

设随机变量 $X$ 的分布为

P [ X = i ] = ( 1 2 ) i + 1 + 2 i − 2 3 i , i = 1 , 2 , … (P) P[X = i] = (\dfrac{1}{2})^{i+1} + \dfrac{2^{i-2}}{3^i}, i = 1, 2, \dots \tag{P} P[X=i]=(21​)i+1+3i2i−2​,i=1,2,…(P)

给出模拟此随机变量的方法。

二、问题求解

首先变量 $X$ 的分布不符合我们常见的均匀分布、二项分布等常见分布，因此我们无法在R语言中直接模拟它，需要做出对应的变换。假定一个服从 [0, 1] 区间的均匀分布的随机数 $U$，即 $U\sim U(0,1)$，接着若我们定义

p i = ( 1 2 ) i + 1 + 2 i − 2 3 i p_i = (\dfrac{1}{2})^{i+1} + \dfrac{2^{i-2}}{3^i} pi​=(21​)i+1+3i2i−2​

则问题 $P$ 改写为如下形式：

P [ X = i ] = p i , i = 1 , 2 , … P[X = i] = p_i,\ i = 1, 2, \dots P[X=i]=pi​, i=1,2,…

接着我们定义如下分布：

X = { 1 , U < p 1 ; 2 , p 1 ≤ U < p 1 + p 2 ; 3 , p 1 + p 2 ≤ U < p 1 + p 2 + p 3 ; … i , ∑ j = 1 i − 1 p j ≤ U < ∑ j = 1 i p j . (Q) X = \left\{\begin{aligned} &1\ ,\ U < p_1;\\ &2\ ,\ p_1 \le U < p_1 + p_2;\\ &3\ ,\ p_1+p_2 \le U < p_1 + p_2 + p_3;\\ &\dots\\ &i\ ,\ \sum_{j=1}^{i-1}p_j \le U < \sum_{j=1}^{i}p_j. \end{aligned}\right. \tag{Q} X=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​1 , U<p1​;2 , p1​≤U<p1​+p2​;3 , p1​+p2​≤U<p1​+p2​+p3​;…i , j=1∑i−1​pj​≤U<j=1∑i​pj​.​(Q)

可以证明分布 $Q$ 和分布 $P$ 是等价的。

三、证明

因为 $U$ 服从 [0, 1] 区间的均匀分布，所以我们有如下结论：

∀ 0 < a < b < 1 , P { a ≤ U < b } = b − a . \forall\ 0 < a < b < 1,\ P\{a \le U < b\} = b - a. ∀ 0<a<b<1, P{a≤U<b}=b−a.

所以对于分布 $Q$，有

P { X = i } = P { ∑ j = 1 i − 1 p j ≤ U < ∑ j = 1 i p j } = ∑ j = 1 i p j − ∑ j = 1 i − 1 p j = p i \begin{aligned} P\{X=i\}&=P\{ \sum_{j=1}^{i-1}p_j \le U < \sum_{j=1}^{i}p_j\}\\ &=\sum_{j=1}^{i}p_j-\sum_{j=1}^{i-1}p_j \\ &=p_i \end{aligned} P{X=i}​=P{j=1∑i−1​pj​≤U<j=1∑i​pj​}=j=1∑i​pj​−j=1∑i−1​pj​=pi​​

和原分布 $P$ 等价。

四、R语言代码

定义分布 $Q$ 的函数如下，其原理即为产生一个 [0, 1] 区间的均匀分布，利用该均匀分布概率值处在那个概率区间来确定 $X$，其代码如下：

Probability <- function(i){P <- 0.5 ^ (i + 1) + 2 ^ (i - 2) / 3 ^ i;return(P);
}DisRand <- function(P, i){c <- as.matrix(1:i);c <- apply(c, 1, Probability);c <- cumsum(c);for (i in 1:i){if (P < c[i]){X = i;break;}}return(X);
}i = 10
u <- as.matrix(runif(i))
R <- apply(u, 1, DisRand, i)
R

这里我们用 10 个服从均匀分布的概率值，模拟出了服从分布 $P$ 的随机数，其输出如下：

> R[1] 2 1 3 1 3 1 2 2 5 3

注意这里 i 应当尽可能大，因为概率和为 1 ！

五、总结

无

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