信息学奥赛一本通 1268：【例9.12】完全背包问题

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ybt 1268：【例9.12】完全背包问题

【题目考点】

1. 动态规划：完全背包问题

【解题思路】

1. 状态定义

• 集合：放入背包的物品方案
• 限制：选择物品的范围，背包大小
• 属性：价值
• 条件：最大
• 统计量：价值

状态定义：dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值。
初始状态：前0个物品放入大小为j的背包，价值为0。所以dp[0][j] = 0。

2. 状态转移方程

集合：在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包的所有方案。
分割集合：是否选择第i物品放入背包

• 子集1：如果不选择第i物品，那么前i个物品中选择物品放入大小为j的背包，就是在前i-1个物品中选择物品放入大小为j的背包。能获得的最大价值为dp[i][j] = dp[i-1][j]。
• 子集2：如果选择第i物品，相当于先选了一个第i物品，价值是c[i]。接下来还需要在前i个物品中选择物品放入大小为j-w[i]的背包
  。能获得的最大价值为dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + c[i]
• 以上两种情况求最大值

原解法时间复杂度：$O(m\ast n)$，空间复杂度：$O(m\ast n)$。
可以对该问题使用滚动数组优化，时间复杂度：$O(m\ast n)$，空间复杂度$O(n)$。

【题解代码】

解法1：基本解法 二维状态

#include
using namespace std;
#define N 35
#define M 205
int m, n, dp[N][M], w[N], c[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值
int main()
{cin >> m >> n;//m：背包容量 n：物品数 for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> w[i] >> c[i];//w[i]：第i物品的重量 c[i]：第i物品的价值 for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 0; j <= m; ++j){if(j >= w[i])dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+c[i]);elsedp[i][j] = dp[i-1][j];}cout << "max=" << dp[n][m];return 0;
}

解法2：滚动数组优化 一维状态

#include
using namespace std;
#define N 35
#define M 205
int m, n, dp[M], w[N], c[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值
int main()
{cin >> m >> n;//m：背包容量 n：物品数 for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> w[i] >> c[i];//w[i]：第i物品的重量 c[i]：第i物品的价值 for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = w[i]; j <= m; ++j)dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+c[i]);cout << "max=" << dp[m];return 0;
}

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