微积分——多元微积分学

一、多元函数微分学

1.1 多元函数的极限
  设定义在$D$上的二元函数$f(x,y)$， P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0, y_0) P0​(x0​,y0​)是$D$的聚点（内点与边界点的合集），若存在常数A，对于任意给定的$ϵ>0$，总存在正数$\delta$，使得当 P ∈ D ∩ U o ( P 0 , δ ) P \in D \cap U^o(P_0, \delta) P∈D∩Uo(P0​,δ)时，都有$$|f(P)-A|<ϵ$$记作 l i m ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)}f(x, y) = A lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y)=A称为函数$f(x,y)$在点 P 0 P_0 P0​的极限。多元函数要求点$P$在定义域内以任何可能的方式和途径趋于 P 0 P_0 P0​时，$f(P)$都有极限且相等。
  设函数$f(P)$的定义域为$D$， P 0 P_0 P0​是$D$的聚点。如果 P 0 ∈ D P_0 \in D P0​∈D，且 l i m P → P 0 f ( P ) = F ( P 0 ) lim_{P \rightarrow P_0}f(P) = F(P_0) limP→P0​​f(P)=F(P0​)则说函数$f(P)$在点 P 0 P_0 P0​处连续。

1.2 偏导数与微分
  设函数$z=f(x,y)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)的某邻域内有定义，若极限 l i m Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​存在，则称此极限为$z=f(x,y)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)处对$x$的偏导数，记作 ∂ z / ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 ∂z/∂x|_{x = x_0, y= y_0} ∂z/∂x∣x=x0​,y=y0​​  若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x, y) Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x,y)可以表示为$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$其中 ρ = ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) 1 / 2 \rho = ((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2)^{1/2} ρ=((Δx)2+(Δy)2)1/2，且$A$与$B$不依赖于$\Delta x$与$\Delta y$，而仅与$x$与$y$有关，称函数$z=f(x,y)$在$(x,y)$可微，并称$A\Delta x+B\Delta y$为$z$在$(x,y)$的全微分，记$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$即$$dz=\partial z/\partial x\cdot dx+\partial z/\partial y\cdot dy$$  若在点$P(x,y)$的某邻域内，函数$z=f(x,y)$的偏导数存在且连续，则$z=f(x,y)$在点$P$处可微。

1.3 链式法则
  若 z = f ( g i ) z = f(g_i) z=f(gi​)， g i = g i ( x ) g_i = g_i(x) gi​=gi​(x)，则 ∂ z / ∂ x = ∑ i ∂ z / ∂ g i ⋅ ∂ g i / ∂ x ∂z/∂x = \sum_i ∂z/∂g_i·∂g_i/∂x ∂z/∂x=i∑​∂z/∂gi​⋅∂gi​/∂x称为链式法则。

  考虑隐函数$F(x,y)=0$，$y=y(x)$，则等式两边对$x$求导，得$$\partial F/\partial x+\partial F/\partial y\cdot dy/dx=0$$即 d y / d x = − ∂ F / ∂ x ∂ F / ∂ y dy/dx = -\frac{∂F/∂x}{∂F/∂y} dy/dx=−∂F/∂y∂F/∂x​称为隐函数求导法则。

1.4 多元函数的极值与最值
  二元函数$f(x)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)处取极值的必要条件为 ∂ f / ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 = 0 ∂ f / ∂ y ∣ x = x 0 , y = y 0 = 0 ∂f/∂x|_{x = x_0, y= y_0} = 0 \\ ∂f/∂y|_{x = x_0, y= y_0} = 0 ∂f/∂x∣x=x0​,y=y0​​=0∂f/∂y∣x=x0​,y=y0​​=0  二元函数$f(x)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)处取极值的充分条件为，记 ∂ 2 f / ∂ x 2 ∣ x = x 0 , y = y 0 = A ∂^2f/∂x^2|_{x = x_0, y= y_0} = A ∂2f/∂x2∣x=x0​,y=y0​​=A， ∂ 2 f / ∂ x ∂ y ∣ x = x 0 , y = y 0 = B ∂^2f/∂x∂y|_{x = x_0, y= y_0} = B ∂2f/∂x∂y∣x=x0​,y=y0​​=B， ∂ 2 f / ∂ y 2 ∣ x = x 0 , y = y 0 = C ∂^2f/∂y^2|_{x = x_0, y= y_0} = C ∂2f/∂y2∣x=x0​,y=y0​​=C，并令 Δ = A C − B 2 \Delta = AC - B^2 Δ=AC−B2，则：
  -若$\Delta >0$，则$f(x)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)处取得极值，且在$A<0$时取得极大值，$A>0$时取得极小值；
  -若$\Delta <0$，则$f(x)$在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0​,y0​)处不取得极值。

1.5 拉格朗日乘数法
  考虑在$\varphi (x,y)=\psi (x,y)=0$得情况下，求$z=f(x,y)$的极值，即 m i n / m a x f ( x , y ) s . t . ϕ ( x , y ) = ψ ( x , y ) = 0 \begin{aligned}min/max\ &f(x, y) \\ s.t.\ &\phi(x, y) = \psi(x, y) = 0\end{aligned} min/max s.t. ​f(x,y)ϕ(x,y)=ψ(x,y)=0​可以取$$F(x,y,\lambda ,\mu )=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)+\mu \psi (x,y)$$并令$$\partial F/\partial x=\partial f/\partial y=\partial f/\partial \lambda =\partial f/\partial \mu =0$$在可行解中求取最值，称为拉格朗日乘数法。

二、多函数积分学

2.1 黎曼积分
  设$f(P)$是几何形体$\Omega$上有定义的点函数，将$\Omega$分割成n各小的几何形体 Ω 1 , Ω 2 , . . . , Ω n \Omega_1, \Omega_2, ..., \Omega_n Ω1​,Ω2​,...,Ωn​，同时用它们表示其度量，任取点 P i ∈ Ω i P_i \in \Omega_i Pi​∈Ωi​，作乘积的和式 ∑ i = 1 n f ( P i ) Ω i \sum_{i=1}^n f(P_i)\Omega_i i=1∑n​f(Pi​)Ωi​再令 d i = s u p P 1 , P 2 ∈ Ω i { d ( P 1 , P 2 ) } d_i = sup_{P_1, P_2 \in \Omega_i}\{d(P_1, P_2)\} di​=supP1​,P2​∈Ωi​​{d(P1​,P2​)}，且 λ = m a x 1 ≤ i ≤ n { d i } \lambda = max_{1 \le i \le n}\{d_i\} λ=max1≤i≤n​{di​}。如果无论怎样分割$\Omega$以及怎样取点 P i P_i Pi​，极限 l i m λ → 0 ∑ i = 1 n f ( P i ) Ω i lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(P_i)\Omega_i limλ→0​i=1∑n​f(Pi​)Ωi​存在，则称此极限值为函数$f(P)$在几何形体$\Omega$上的黎曼积分，记 ∫ Ω f ( P ) d Ω = l i m λ → 0 ∑ i = 1 n f ( P i ) Ω i \int_{\Omega}f(P)d\Omega = lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(P_i)\Omega_i ∫Ω​f(P)dΩ=limλ→0​i=1∑n​f(Pi​)Ωi​按几何形体$\Omega$的类型，多元函数的黎曼积分分为以下四类：
  -几何形体$\Omega$为平面有界区域$\sigma$，$f(P)$是$\sigma$上的二元点函数，称此黎曼积分为二重积分；
  -几何形体$\Omega$为三位空间的有界闭立体区域$V$，$f(P)$是$V$上的三元点函数，称此黎曼积分为三重积分；
  -几何形体$\Omega$为平面内或空间内的曲线段$l$，$f(P)$是$l$上的点函数，称此黎曼积分为一型曲线积分；
  -几何形体$\Omega$为空间曲面片$S$，$f(P)$是$S$上的点函数，称此黎曼积分为一型曲面积分。

2.2 二重积分
  设$\sigma$是$Oxy$平面上一有界闭区域，点函数为二元函数$f(x,y)$。由于黎曼积分与$\sigma$的分割方式无关，$\sigma$被与坐标轴平行的直线网分割成典型的矩形，其微元$d\sigma =dxdy$，即 ∫ σ f ( P ) d σ = ∬ σ f ( x , y ) d x d y \int_\sigma f(P)d\sigma = \iint_\sigma f(x, y)dxdy ∫σ​f(P)dσ=∬σ​f(x,y)dxdy  在极坐标系下，$\sigma$被与坐标轴放射同心的曲线网分割成典型的扇环，扇环的宽度为$dr$，扇环的弧长为$rd\theta$，故其微元$d\sigma =rdrd\theta$，即 ∫ σ f ( P ) d σ = ∬ σ f ( r , θ ) r d r d θ \int_\sigma f(P)d\sigma = \iint_\sigma f(r, \theta)rdrd\theta ∫σ​f(P)dσ=∬σ​f(r,θ)rdrdθ  重积分的求解可以通过累次积分，形如 ∬ σ f ( x , y ) d x d y = ∫ x 1 x 2 [ ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y ] d x \iint_\sigma f(x, y)dxdy = \int_{x_1}^{x_2}[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x, y)dy]dx ∬σ​f(x,y)dxdy=∫x1​x2​​[∫y1​(x)y2​(x)​f(x,y)dy]dx
2.3 三重积分
  在三维空间中，$V$被分割成典型的长方体，其微元$dV=dxdydz$，即 ∫ V f ( P ) d V = ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z \int_V f(P)dV = \iiint_Vf(x, y, z)dxdydz ∫V​f(P)dV=∭V​f(x,y,z)dxdydz  在柱坐标系下，$V$被分割成典型的扇环体，其扇环横截面为$rdrd\theta$，体高为$dz$，故其微元$dV=rdrd\theta dz$，即 ∫ V f ( P ) d V = ∭ V f ( r , θ , z ) r d r d θ d z \int_V f(P)dV = \iiint_Vf(r, \theta, z)rdrd\theta dz ∫V​f(P)dV=∭V​f(r,θ,z)rdrdθdz  在球坐标系下，$V$被分割为典型的球壳块，球壳的厚度为$d\rho$，原点到球壳的距离投影到$Oxy$平面的长度为$\rho sin\varphi$，其对应的弧长，即球壳体宽度为$\rho sin\varphi d\theta$，而在$Oxy$平面外的球壳体高度为$\rho d\varphi$，故其微元为 d V = ρ 2 s i n ϕ d ρ d ϕ d θ dV = \rho^2sin\phi d\rho d\phi d\theta dV=ρ2sinϕdρdϕdθ，即 ∫ V f ( P ) d V = ∭ V f ( ρ , ϕ , θ ) ρ 2 s i n ϕ d ρ d ϕ d θ \int_V f(P)dV = \iiint_Vf(\rho ,\phi ,\theta)\rho^2sin\phi d\rho d\phi d\theta ∫V​f(P)dV=∭V​f(ρ,ϕ,θ)ρ2sinϕdρdϕdθ
2.4 一型曲线积分
  设$l$是平面曲线段，被分割为典型的短直线段，根据勾股定理，其微元为 d s = ( 1 + y ′ ( x ) ) 1 / 2 d x ds = (1 + y'(x))^{1/2}dx ds=(1+y′(x))1/2dx，即 ∫ l f ( P ) d s = ∫ f ( x , y ) ( 1 + y ′ ( x ) ) 1 / 2 d x \int_lf(P)ds = \int f(x, y)(1 + y'(x))^{1/2}dx ∫l​f(P)ds=∫f(x,y)(1+y′(x))1/2dx  在极坐标系下，被分割为典型的短直线段，由于极轴与极点同心圆垂直，弧长为$rd\theta$，极径段长度为$dr=dr/d\theta \cdot d\theta$，根据勾股定理，其微元为 d s = ( r ( θ ) + r ′ ( θ ) ) 1 / 2 d θ ds = (r(\theta) + r'(\theta))^{1/2}d\theta ds=(r(θ)+r′(θ))1/2dθ，即 ∫ l f ( P ) d s = ∫ f ( r , θ ) ( r ( θ ) + r ′ ( θ ) ) 1 / 2 d θ \int_lf(P)ds = \int f(r, \theta)(r(\theta) + r'(\theta))^{1/2}d\theta ∫l​f(P)ds=∫f(r,θ)(r(θ)+r′(θ))1/2dθ在参数方程下，被分割为典型的短直线段，$x$轴为$dx=dx/dt\cdot dt$，$y$轴为$dy=dy/dt\cdot dt$，根据勾股定理，故 d s = ( ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 ) 1 / 2 ds = ((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)^{1/2} ds=((dx/dt)2+(dy/dt)2)1/2，即 ∫ l f ( P ) d s = ∫ f ( t ) ( ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 ) 1 / 2 d t \int_lf(P)ds = \int f(t)((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)^{1/2}dt ∫l​f(P)ds=∫f(t)((dx/dt)2+(dy/dt)2)1/2dt
2.5 一型曲面积分
  与一型曲线积分类似的，一型曲线积分可以化为二重积分，形如 ∫ S f ( P ) d S = ∬ σ x y f ( x , y , z ( x , y ) ) ( 1 + ( ∂ z / ∂ x ) 2 + ( ∂ z / ∂ y ) 2 ) 1 / 2 d σ \int_Sf(P)dS = \iint_{\sigma_{xy}}f(x, y, z(x, y))(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2)^{1/2}d\sigma ∫S​f(P)dS=∬σxy​​f(x,y,z(x,y))(1+(∂z/∂x)2+(∂z/∂y)2)1/2dσ

三、场论初步与二型积分

3.1 方向导数
  偏导数考察了函数在坐标轴方向上的变化率，接下来考察函数沿着其他方向上的变化率。
  设三元函数$u=u(x,y,z)$在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0, y_0, z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的某空间邻域$U$内有定义，$P(x,y,z)$为直线$l$在 U o U^o Uo内的任意一点，那么有 x − x 0 = t c o s α y − y 0 = t c o s β z − z 0 = t c o s γ x - x_0 = tcos\alpha \\ y - y_0 = tcos\beta \\ z - z_0 = tcos\gamma x−x0​=tcosαy−y0​=tcosβz−z0​=tcosγ并且 ∣ P P 0 ∣ = t |\bm{PP}_0| = t ∣PP0​∣=t若 l i m t → 0 + = u ( P ) − u ( P 0 ) t lim_{t \rightarrow 0^+} = \frac{u(P) - u(P_0)}{t} limt→0+​=tu(P)−u(P0​)​存在，称此极限为$u$沿着方向$\mathbf{l}$的方向导数，记 ∂ u / ∂ l ∣ P 0 ∂u/∂\bm{l}|_{P_0} ∂u/∂l∣P0​​，且 ∂ u / ∂ l ∣ P 0 = ∂ u / ∂ x ∣ P 0 c o s α + ∂ u / ∂ y ∣ P 0 c o s β + ∂ u / ∂ z ∣ P 0 c o s γ ∂u/∂\bm{l}|_{P_0} = ∂u/∂x|_{P_0}cos\alpha + ∂u/∂y|_{P_0}cos\beta + ∂u/∂z|_{P_0}cos\gamma ∂u/∂l∣P0​​=∂u/∂x∣P0​​cosα+∂u/∂y∣P0​​cosβ+∂u/∂z∣P0​​cosγ
3.2 梯度
  考察方向导数最大的方向，由于$$\partial u/\partial \mathbf{l}=\partial u/\partial xcos\alpha +\partial u/\partial ycos\beta +\partial u/\partial zcos\gamma$$其可以分解为 ∂ u / ∂ l ∣ = ( ∂ u / ∂ x i + ∂ u / ∂ y j + ∂ u / ∂ z k ) ( c o s α i + c o s β j + c o s γ k ) = G ⋅ l o = ∣ G ∣ c o s < G , l > ∂u/∂\bm{l}| = (∂u/∂x\bm{i} + ∂u/∂y\bm{j} + ∂u/∂z\bm{k})(cos\alpha\bm{i} + cos\beta\bm{j} + cos\gamma\bm{k}) = \bm{G}·\bm{l}^o = |\bm{G}|cos<\bm{G}, \bm{l}> ∂u/∂l∣=(∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk)(cosαi+cosβj+cosγk)=G⋅lo=∣G∣cos<G,l>当$cos<\mathbf{G},\mathbf{l}>=1$时，方向导数最大，故定义$\mathbf{G}$为梯度，记作$$\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u=\partial u/\partial x\mathbf{i}+\partial u/\partial y\mathbf{j}+\partial u/\partial z\mathbf{k}$$当$\mathbf{l}$与梯度的方向一致时，方向导数最大，此时梯度的模为方向导数的最大值。

3.3 二型曲线积分
  若空间区域$\Omega$上的每一点$(x,y,z)$均对应一个量$u=u(x,y,z)$，则该空间区域是一个数量场；而若其每一个点均对应一个向量$$\mathbf{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{z}$$则该空间区域是一个向量场。

  考虑质点在变力$\mathbf{F}(x,y,z)$的作用下沿着向量场中的曲线$\Gamma$做功，其微路径为$$d\mathbf{r}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}$$在该点处的微功为$$dW=\mathbf{F}d\mathbf{r}$$故变力做的总功为 W = ∫ Γ F d r W = \int_{\Gamma}\bm{F}d\bm{r} W=∫Γ​Fdr其为向量函数在有向弧上的积分，称为二型曲线积分。

  二型曲线积分可以通过方向的正交性计算，即 ∫ Γ F d r = ∫ Γ ( P d x + Q d y + R d z ) \int_{\Gamma}\bm{F}d\bm{r} = \int_{\Gamma}(Pdx + Qdy + Rdz) ∫Γ​Fdr=∫Γ​(Pdx+Qdy+Rdz)若二型曲线积分与路径无关，则称此向量场为保守场。
3.4 格林公式
  设$Oxy$平面上闭区域$D$由分段光滑且不自相交的闭曲线$C$围成，函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$D$上有连续的一阶偏导数，则有 ∮ C P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q / ∂ x − ∂ P / ∂ y ) d x d y \oint_CPdx + Qdy = \iint_D(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy ∮C​Pdx+Qdy=∬D​(∂Q/∂x−∂P/∂y)dxdy称为格林公式。其中，闭曲线积分按$C$的正向进行，而$C$沿着正向前进所围成的$D$总在$C$的左侧。

  设在$Oxy$平面区域内，向量函数$\mathbf{v}$在向量场中沿着光滑的不自相交的正向闭曲线$C$的积分 Γ = ∮ C v d r \Gamma = \oint_C \bm{v}d\bm{r} Γ=∮C​vdr称为场沿曲线$C$的环量。根据格林公式，有 Γ = ∬ D ( ∂ Q / ∂ x − ∂ P / ∂ y ) d x d y \Gamma = \iint_D(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy Γ=∬D​(∂Q/∂x−∂P/∂y)dxdy当$\Gamma$取不同符号时，曲线$C$所围的区域$D$中有不同的转动趋势，由于转动具有方向，称表示转动趋势与方向的向量为旋度，记$$\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{v}=(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\mathbf{k}$$当旋度为0时，称此向量场为无旋场，而无旋场必然是保守场。

3.5 二型曲面积分
  考虑曲面$z=z(x,y)$，为了区分曲面的两侧，规定闭曲面的外侧法向量向外，内侧法向量向内，使法向量的值向与曲面的侧一致。取定了法向量的曲面叫做有向曲面。
  考虑设某流体的流速为$\mathbf{V}(x,y,z)$，考察其在单位时间内通过有向曲面$\Sigma$的量。其在微面积内经过单位时间通过的量为$$d\Phi =Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$$其中，$dxdy$表示$d\mathbf{S}$在$Oxy$上的投影。那么其在单位时间内通过有向曲面$\Sigma$的量为 ∬ Σ V d S = ∬ Σ ( P d y d z + Q d x d z + R d x d y ) \iint_{\Sigma}\bm{V}d\bm{S} = \iint_{\Sigma}(Pdydz + Qdxdz + Rdxdy) ∬Σ​VdS=∬Σ​(Pdydz+Qdxdz+Rdxdy)
  二型曲面积分可以通过投影法计算，形如 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = { ∬ σ R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y , c o s ( n , z ) > 0 ∬ σ − R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y , c o s ( n , z ) < 0 \iint_\Sigma R(x, y, z)dxdy = \left\{\begin{aligned}&\iint_\sigma R(x, y, z(x, y))dxdy, &cos(\bm{n}, \bm{z}) > 0 \\&\iint_\sigma -R(x, y, z(x, y))dxdy, &cos(\bm{n}, \bm{z}) < 0 \\\end{aligned}\right. ∬Σ​R(x,y,z)dxdy=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​∬σ​R(x,y,z(x,y))dxdy,∬σ​−R(x,y,z(x,y))dxdy,​cos(n,z)>0cos(n,z)<0​其中，$\sigma$是$\Sigma$在$Oxy$上的投影，$\mathbf{n}$是$\Sigma$的法向量。

3.6 高斯公式
  设空间闭区域$V$是由分片光滑的闭曲面$\Sigma$围成，函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$，$R(x,y,z)$在$V$上有连续的一阶偏导数，则有 ∯ Σ o u t P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∭ V ( ∂ P / ∂ x + ∂ Q / ∂ y + ∂ R / ∂ z ) d x d y d z \oiint_{\Sigma_{out}}Pdydz+ Qdxdz + Rdxdy = \iiint_{V}(∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dxdydz ∬ ​Σout​​Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭V​(∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)dxdydz称为高斯公式。

  设在向量场$\mathbf{F}(M)$中，$\Sigma$为一有向曲面片，称曲面积分 Φ = ∬ Σ F d S \Phi = \iint_{\Sigma}\bm{F}d\bm{S} Φ=∬Σ​FdS为向量场$\mathbf{F}(M)$穿过有向曲面$\Sigma$到指定一侧的通量。而通量的体密度，称为散度，有 ∯ Σ F d S = ∭ V d i v F d V \oiint_{\Sigma} \bm{F}d\bm{S} = \iiint_V div\ \bm{F}dV ∬ ​Σ​FdS=∭V​div FdV其中，空间闭区域$V$由分片光滑的闭曲面$\Sigma$围成。根据高斯公式，有$$div\mathbf{F}(M)=\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y+\partial R/\partial z$$若在向量场$\mathbf{F}(M)$中，各点的散度均为0，则称该场为无源场，在无源场的空间单连通区域内，任何曲面上的第二型曲面积分仅与曲面的边界线$\Gamma$有关，而与曲面的形状无关。

3.7 斯托克斯公式
  设$C$为分段光滑的有向闭曲线，$\Sigma$是以$C$为边界的任意分片光滑的有向曲面，$C$的方向与$\Sigma$的法线方向符合右手螺旋法则，函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$，$R(x,y,z)$在$\Sigma$包含的区域内有连续的一阶偏导数，则有 ∮ C P d x + Q d y + R d z = ∬ D ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d x d z + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∬ D ( d y d z d x d z d x d y ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z P Q R ) \begin{aligned} \oint_CPdx + Qdy + Rdz=& \iint_D(\frac{∂R}{∂y} - \frac{∂Q}{∂z})dydz + (\frac{∂P}{∂z} - \frac{∂R}{∂x})dxdz + (\frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y})dxdy \\ =& \iint_D \left( \begin{matrix}dydz & dxdz & dxdy \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ P & Q & R \end{matrix} \right ) \end{aligned} ∮C​Pdx+Qdy+Rdz==​∬D​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dxdz+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy∬D​⎝⎛​dydz∂/∂xP​dxdz∂/∂yQ​dxdy∂/∂zR​⎠⎞​​

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