不妨先看看古人是如何确定π是一个常数，并通过迭代法最终求得该常数的近似值的。
π的历史简介
众所周知，
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可以说，它是世界上最有名的无理常数了，代表的是一个圆的周长与直径之比或称为“圆周率”。公元前250年左右，阿基米德给出了“圆周率”的估计值在
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之间，也即是在
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之间。
中国南北朝时期的著名数学家祖冲之(429-500)首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“密率与约率”对数学的研究有重大贡献。直到15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才以“精确到小数点后17位”打破了这一纪录。
代表“圆周率”的字母
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是第十六个希腊字母的小写。也是希腊语 περιφρεια(表示周边，地域，圆周)的首字母。1706年英国数学家威廉·琼斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“
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”来表示圆周率。1736年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也开始用表示圆周率。从此，
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便成了圆周率的代名词。
π为什么是常数？
介绍完一些关于
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的来历后，我准备着手沿着古人的方式去寻找
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，但此时我发现忽略了一个重要的前提条件——为什么π是一个常数？即为什么所有圆的周长和直径之比为一个定值，这一点似乎并不能够自然而然地就得到。因此在寻找这个常数之前，先要做的应当是证明“圆的周长与直径之比确实是一个常数”。![]()
如上图所示，以点O为圆心作两个半径不同的圆，小圆的半径为
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，周长为
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；大圆的半径为
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，周长为
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。分别作两个圆的内接正
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边形(
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为偶数)，边长分别为
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和
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，且保证正两个
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边形过圆心的对角线重合。
那么有
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因此
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。
所以有
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。
设小正
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边形和大正
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边形的周长分别为
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和
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，则有
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，
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。
所以有
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。
由于当
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时，
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，
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，即取极限或者说是逼近的思想，当边数区域无穷，内接多边形就近似是一个圆了，后面寻找
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时还会再次用到这个思想。
所以就有
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，表示的是：对于半径不同的圆，其各自周长与半径的比为定值，或者说为常数，记该常数为2
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，则圆的周长与直径之比为
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，当然也是一个常数，证明完毕。
好，既然圆的周长和直径之比是一个常数，下一步要做的就是去寻找这个常数或它的近似值了。
我们可以从书中、从网上、从各种我们能够想到的渠道获得这个神奇的常数。不过，如果只给你一支笔、一张纸，你能否找到它的近似值呢？
阿基米德的智慧
阿基米德(Archimedes, 287-212 BC) 精度高达99.9%的
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，在他那个年代还没有定义小数，甚至连“0”的定义都没有(相传“0”是到了公元5世纪才由印度人最先用于计算之中)，那么他当年是怎么计算π的呢？![]()
Archimedes 287-212 BC (图片来源: Wikipedia)
在得到圆周率之前，阿基米德当然无法知道一个圆的周长，但是他可以从他知道的开始，比如正方形(实际上他用的是正六边形，为了演示方便，这里从正方形开始)。![]()
(图片来源: betterexplained)
对于上图中一个已知直径为1的单位圆(其周长即为
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)，可以以其直径为边长作出其外切正方形，也可以以其直径为对角线作出其内接正方形。不管圆的周长是多少，其总满足大于内接正方形的周长，小于外切正方形的周长。
外切正方形周长：
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内接正方形周长根据勾股定理有：
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假设现在
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的大小未知，我们只能肯定
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在2.8到4之间，先取个中间值作为
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的估计值，约等于3.4。我们发现这样精度很低，因为用4边形来估算实在是太“粗糙”了，为了提高这种方法的精度，可以用边数更多的正多边形来逼近![]()
Archimedes pi (图片来源: Wikipedia)
可以看出，到了正八边形时，内接八边形与外切八边形之间的“间隙”比正方形的情况小了。此时
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的估算值相对于正方形的情况会有一个精度上的提升。但是，现在的问题是：八边形的周长如何计算？而且就算把八边形的周长计算出来了，那16边形、32边形岂不是精度更高，那又该怎么计算？
正多边形逼近
下面需要用到两条基本定理：
定理一：半圆的内接三角形为直角三角形，且直角顶点在圆周上。
定理二：圆的弦所对应的圆周角为其所对应的圆心角的一半。
定理一的证明，证明半圆的内接三角形为直角三角形：![]()
对于上图，令半径为
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的半圆圆心在坐标原点，三角形的一边为半圆直径，一个顶点
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在半圆的圆周上，坐标为
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。
则有：![]()
根据勾股定理可知，
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。
定理二的证明：即“圆上同一根弦所对应的圆周角为圆心角的一半”，可以用下图证明：
对于
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，因为
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，即为等腰三角形。有
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；又因为外角等于不相邻的量内角的和，所以
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，因此有
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。即圆上的一条弦所对应的圆周角是其所对应圆心角的一半。![]()
对于内接多边形：
如下图所示，对于直径为1的圆，设内接多边形的每个边的边长为
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，每个边对应的圆心角为
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。![]()
根据定理一和二，可以得出，内接多边形的边长
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。
对于外切多边形
如下图所示，易得，外切多边形的边长为
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。![]()
所以，对于正方形
单位圆内接正方形的周长为：
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单位圆外切正方形的周长为：
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而对于正八边形
单位圆内接正八边形的周长为：
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单位圆外切正八边形的周长为：
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因此，对于正
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边形
单位圆内接正
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边形的周长为：
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单位圆外切正n边形的周长为：
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对于我们来说，问题似乎已经解决了，只要
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足够大，结果就会很精确，可以通过不停地增大
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直到直达到想要的精度。
但是，又忽略了一个问题！阿基米德那个时代并没有计算器，不像今天，想算
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或者
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，So easy~只需要按几个键就行了。因此，直接用三角函数计算在当时其实是行不通的！
得换换思路了！
阿基米德迭代算法
阿基米德不愧是数学大师。为了解决这一棘手的问题，阿基米德发明了一种“迭代算法”：
为了方便计算，将内接和外切多边形的边数定为
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个，
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为整数，且
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，如下图所示。![]()
内接
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边形的边长为
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，则其周长为
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；外切
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边形的边长为
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，则其周长为
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。
如果令正
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边形的边长所对应的圆心角为
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，由上面的推导知：
内接正
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边形的边长
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外切正
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边形的边长
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那么，正
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边形的边长所对应圆心角为
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，由上面的推导知：
内接正
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边形的边长
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外切正
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边形的边长
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有以下递推公式：![]()
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由此，可以计算外切正
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边形的周长
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：![]()
以及内接正
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边形的周长
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：![]()
即：![]()
可以注意到的是：
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是
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与
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的“调和平均数”；
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是
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与
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的“几何平均数”。
通过这样的递推公式，可以直接以内接及外切正
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边形的周长来计算内接及外切正
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边形的周长，成功避免了三角函数的引入。
通过递推公式，可以计算得到以下结果：![]()
可以看出，当正多边形的边数到达
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时，已经有了不错的精度，而阿基米德当年用的是正六边形，方法是一样的，他计算了正
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边形、正
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边形、正
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边形和正
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边形。那他为什么没有继续算下去？
前面已经说了，公元前250年人们还没有发明小数，人们只能用分数来近似各个根号项所得到的无理数，当近似项增多，误差就会随之增大，在这种情况下，阿基米德算到了正
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边形，得到π的值在
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之间，计算精度达到了
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，在那个时代已经是很高的精度了。
所以在其后的很长一段时间里，人们用
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来近似圆周率，取的正是阿基米德计算结果所在区间的上界。
中国人的贡献
不过，后面有人发现了一个神秘的分数：
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，其精度居然达到了
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，而发现这个数的人正是中国南北朝时期数学家祖冲之
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年左右。他给出了两个分数：密率
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和约率
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。顾名思义就是密率精度高，约率的精度稍低一些。![]()
祖冲之(429-500) (图片来源: Wikipedia)
密率
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是一个很好的分数近似值，因为至少要取到
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才能够比密率的精度更高一点，但这样的分数就显得不太实用了。完美主义者可能会纠结于没有找到精确的π，但要知道，发现π是一个永远都不会停止的过程，这也是其魅力之所在。没有最精确，只有更精确。
寻找π的过程就是这样神奇，一开始它的模型看起来很“粗糙”，随着边数的增多，边长的细化，计算结果越发逼近理想值，其实这就是“微积分”思想的雏形。而且有意思的是，微积分的出现最后又导致了很多更好的计算π的公式的出现。直观の数学zhuanlan.zhihu.com![]()
参考
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